アインシュタイン論文選「奇跡の年」の５論文
アルベルト・アインシュタイン　著
ジョン・スタチェル　編
青木薫　訳　筑摩書房（ちくま学芸文庫）　2011年

には、アインシュタインが先んじて発表した論文『運動物体の電気力学』に続いて、標記論文が訳出されています。この論文で、論文『運動物体の電気力学』の研究結果から導かれる慣性質量について得られた結論に言及しています。

　アインシュタインが先行論文で基礎に置いたのは、マックスウェル-ヘルツの方程式と電磁場の空間エネルギーに関するマックスウェルの表式に加えて、『相対性原理』、

物理系の状態変化を支配する法則は，（互いに一定の速度で平行移動している）ふたつの座標系のどちらを用いてそれらの変化を記述するかによらない．

でした。そしてアインシュタインは、これらの基礎の上に導いた結果のうち、特に重要であるとして指摘したものが有名な質量エネルギーの式 E ＝ mc^2 です。以下、アインシュタインの主張を読んでいきます。

　光の平面波からなる系が、空間座標系としての静止系 K 系 (x，y，z) から見たときにエネルギー l をもち、光線の進行方向はこの座標系の X 軸と φ をなすものとします。静止系 K 系に対して X 軸方向に等速度 v で平行移動している空間座標系としての運動系 k 系 (ξ，η，ζ) を導入してこの座標系で光のエネルギーを測定すると、

l'＝l{1 － (v/V) cos φ}/√{1 － (v/V)^2}

となります。ここで V は光の速度を表しています。これについては論文『運動物体の電気力学』の

8 光線のエネルギーの変換．完全反射鏡にかかる放射圧の理論

で示されました。

　さて、静止系 K 系 (x，y，z) に対して静止している物体があるとして、静止系 K 系で見たときのその物体のエネルギーを E0 とします。そしてこの物体のエネルギーを運動系 k 系で見たときのエネルギーを H0 とします。この物体が静止系 k 系の X 軸の正の方向と角度 φ をなす方向に静止系 K 系でで想定したエネルギー値 L/2 をもつ光の平面波を放出し、同時にそれと同量の光を逆の向き、つまり X 軸の正の方向と角度 π ＋ φ をなす方向に放出したとします。この間この物体は静止系 K 系に対して静止していなければなりませんし、この過程はエネルギー保存の原理を満たさなければなりません。また相対性原理によって、静止系 K 系と運動系 k 系の両座標系のどちらで見ても全く同じ事が起こらなければなりません。

　今、光を放出した後の物体のエネルギーを静止系 K 系で測定して E1、運動系 k 系で測定して H1 であったとします。エネルギー保存の原理に従えば、静止系 K 系で、

E0 ＝ E1 ＋ {(L/2) ＋ (L/2)}，

従って

E0 － E1 ＝ L，

運動系 k 系で

H0 ＝ H1 ＋ [(L/2){1 － (v/V)cosφ}/√{1 － (v/V)^2} ＋ (L/2){1 － (v/V)cos(π ＋ φ)}/√{1 － (v/V)^2}]

＝ H1 ＋ [(L/2){1 － (v/V)cosφ}/√{1 － (v/V)^2} ＋ (L/2){1 ＋ (v/V)cosφ}/√{1 － (v/V)^2}]，

従って

H0 － H1 ＝ L/√{1 － (v/V)^2}

となります。ここで両座標系での計算結果を辺々引き算すれば、

(H0 － H1) － (E0 － E1) ＝ L/√{1 － (v/V)^2} － L

(H0 － E0) － ( H1－ E1) ＝ L[1/√{1 － (v/V)^2} － 1]

となりますが、運動系 k 系と静止系 K 系での光放出前の物体のエネルギー値の差が、H0 － E0、光放出後の差が、H1 － E1 であるということになります。そして物体は静止系 k 系に対して静止しています。一方、運動系 k 系は静止系 K 系に対して速度 v で等速移動していますから、エネルギー値の差はエネルギーの基準の選び方の違いからくる付加的な定数 C を除いて運動エネルギーに他なりません。またエネルギーの基準は光の放射の前後で変化することはありませんから、静止系 K 系での運動エネルギーを K0、運動系 k 系での運動エネルギーを K1 とすれば

H0 － E0 ＝ K0 ＋ C，　　H1 － E1 ＝ K1 ＋ C

となりますから

K0 － K1 ＝ (K0 ＋ C) － (K1 ＋ C) ＝ (H0 － E0) － (H1 － E1) ＝ L[1/√{1 － (v/V)^2} － 1]

を得ます。

さて、運動系 k 系で測定した物体の運動エネルギーは、物体が光を放出したために減少しますが、その減少量は物体の性質によらないことは明かです。さらに運動エネルギーの差 K0 － K1 は、アインシュタインの論文『運動物体の電気力学』の第10節

10 （ゆっくり加速された）電子の力学

で電場によって加速された電子が得る運動エネルギーの表式とまったく同じ形で物体の速度に依存していることがわかります。ここでマクローリン展開

1/√(1 － x) ≒ 1 ＋ (1/2)x

を利用して (v/V)^4 以上の項を無視すれば、

K0 － K1 ＝ L[1/√{1 － (v/V)^2－1]} ≒ L{1 ＋ (1/2)(v/V)^2 － 1} ＝ (L/2)(v/V)^2

を得ます。ここで、L はエネルギーの次元を持つ量であることから、L/V^2 は質量の次元を持つ量であることに注意しなければなりません。つまり静止系 K 系においても、運動系 k 系においても電子の速度に変化がないことから、物体がエネルギー L を放射の形で放出すると、その物体の質量は L/V^2 だけ減少することが結論付けられます。さらにはここで物体から失われたエネルギーが電磁波の放射エネルギーになるかどうかが本質的でないのは明らかです。従って、物体の質量はその物体に含まれるエネルギー量であることが、より一般的に結論付けられます。CGS単位系での光速度は 3×10^10 cm/s なので、物体のエネルギーが L だけ変化すれば、その物体の質量が、L/9×10^20 ｇ だけ変化することになります。

　アインシュタインはラジウム塩のような含有エネルギーが大きい物質を用いればこのことが検証できるかもしれないことを指摘しています。そしてもしこのことが事実であれば、電磁波はそれを放射した物体から吸収した物体へ慣性を運ぶことになると指摘しています。