物質がない場合の重力場に関する議論を終えたアインシュタインは次にこの理論を物質がある場合へと拡張します。そこで第16節 16 重力の場の方程式の一般形 を読みます。アインシュタインは、、第15節で定式化された物質のない空間での重力場の方程式は、ニュートンの重力理論の重力場の方程式 ▽^2φ = ... 続きをみる
アルベルト・アインシュタインの論文を読むの新着ブログ記事
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物質がない場合の重力場の方程式を議論したアインシュタインは、一般的な重力場の方程式の議論に移る前にエネルギー運動量の法則について議論をしています。そこで、次は標記論文の第15節 15 重力場に対するハミルトン関数、運動量・エネルギーの法則 を読みます。アインシュタインは、場の方程式が運動量とエネ... 続きをみる
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一般共変性の要請を定式化するために数学を準備ができたので、アインシュタインはいよいよ C 重力場の理論 の部に議論を進めて、重力場の理論の建設に取り掛かります。そこでまず第13節 13 重力場における質点の運動方程式、重力場の成分に対する式 を読むことにします。特殊相対性理論によれば、外力の作用... 続きをみる
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前回の投稿でアインシュタインが述べているテンソル解析と共変微分について一通りその計算を追うことができましたので、次節に進みます。標記論文の第12節 12 リーマン・クリストッフェルのテンソル を読みます。アインシュタインはこの節で、基本テンソルだけから微分によって得ることができるテンソルを探すと... 続きをみる
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標記論文の第11節 11 特別な重要性をもったいくつかの場合 の続きを読みます。アインシュタインはこの節でテンソル解析について述べていますが、共変微分をテンソルの拡大と呼んでいます。共変テンソルについては前回見ましたが、その他のテンソルについては発散の考察の中で述べられています。 アインシュタ... 続きをみる
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前節では共変テンソルの共変微分について考察がなされました。反変テンソルや混合テンソルの共変微分については、次節で論じられているテンソル解析の中で述べられています。そこで第11節 11 特別な重要性をもったいくつかの場合 を読みます。アインシュタインは、この節でテンソルに関する種々の微分演算につい... 続きをみる
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前節では線素の平方を与える基本テンソル g_μν について詳しく考察しました。線素の平方は隣接する時空点の関係を示すものです。次節では離れた時空点を結ぶ測地線について考察をします。第9節 9 測地線の方程式、粒子の運動 を読みます。線素 ds はスカラーで隣接する2点の距離ともいうべき量で、座標... 続きをみる
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第5節では、テンソルの加法と減法の規則について述べられていましたが、第7節 7 テンソルの乗法 ではテンソルの乗法について述べられています。アインシュタインはまずテンソルの外積について述べています。n 階のテンソルの成分と m 階のテンソルの成分を用いて、一方のテンソルの成分に他方のテンソルの各... 続きをみる
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アインシュタインは一般共変性の要請を定式化するために数学を準備し始めます。 B 一般的な共変方程式の形成に対する数学的補助手段 を読みます。一般相対性の仮定は私たちに、物理学の方程式は座標 x_1,x_2,x_3,x_4 の任意の変換に対して共変であるべきであるという要請に導くことを見てきました... 続きをみる
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前節では、慣性の法則が成り立つような座標系 K 系に対して第2の座標系 K' を考え、他の物質から十分遠く離れた物質が形作る物体を座標系 K' が K に対して一様に加速されている並進運動をする場合と、K に対して加速はしていないが一様な重力の影響下にある場合を比較して、自然現象の物理学的な記述... 続きをみる
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前回の投稿では、アインシュタインが重力が光の伝搬に与える影響を重力場における時の刻みの遅れから評価されることを論じた論文を読みました。しかし瞬間的ではあるにせよ、ローレンツ変換を利用していたので、空間についても収縮が起きているはずですが、それは考慮されていませんでした。 人類の知的遺産68 ア... 続きをみる
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1911年の論文「重力の光の伝搬への影響について」(その4)
前節では、重力ポテンシャルの差が時間の経過に影響を与え、重力場の中でも光速度不変の原理が時間の遅れを考慮した形で成り立つことを見ました。続けて標記論文の第4節 4 重力場における光線の偏倚 を読みます。アインシュタインは、前節で証明された 重力場における光の速度は場所の関数である。 という命題か... 続きをみる
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1911年の論文「重力の光の伝搬への影響について」(その3)
第2節では一つの物体を考察するにあたっては、重力加速度 γ の一様な重力場の中の定常的な座標系に関する重力質量と、重力場のない空間を一様な加速度 γ で移動する座標系に関する慣性質量が正確に等しいことを見ました。続いて標記論文の第3節 3 重力場における時間と光の速度 を読みます。この節において... 続きをみる
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1911年の論文「重力の光の伝搬への影響について」(その2)
重力場の力線が z 軸の負の方向へ向かうように向きのつけられた定常な座標系 K と重力場のない空間において z 軸の正の方向へ一様な加速度 γ で運動している座標系 K' が物理学的に全く同値であるという仮定が真である可能性について特殊相対性理論の見地から考察を進めます。標記論文の第2節 2 エ... 続きをみる
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1911年の論文「重力の光の伝搬への影響について」(その1)
本ブログ開設の当初の目的は筑摩書房の書籍 アインシュタイン論文選「奇跡の年」の5論文 アルベルト・アインシュタイン 著 ジョン・スタチェル 編 青木薫 訳 筑摩書房(ちくま学芸文庫) 2011年 に訳出されているアインシュタインが1905年に発表した論文の一部を読んでその読後報告を書くためでし... 続きをみる
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ここにきて四苦八苦しながらも何とか標記論文の第3節までを読み終えることができました。続けて第4節 4. 溶液中で解離しない物質の拡散について を読みます。第3節で論じた溶液を再び考察します。分子が半径 P の球であると考え、それに力 K が作用してその分子が速度 ω で動くとすると、その速度は半... 続きをみる
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第3節では、第2節の結論を応用することを考えます。標記論文の第3節 3. 溶媒にくらべて大きな分子体積をもつ溶質の体積について を読みます。溶液中で解離しない物質を溶かした希薄な溶液を考察します。溶質の分子の大きさは溶媒簿分子の大きさより大きいものとし、溶質分子を半径 P の剛体球とみなすことに... 続きをみる
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液体と剛体球が不均一に混じりあった混合物の変形速度テンソルから混合物の膨張運動の主軸の値を求め、それから混合物の粘性係数を計算しようとしていました。ということで標記論文の第2節 2. 不規則に分布する小球がきわめて多数浮かんでいる場合に,液体の粘性係数を求める の続きを読んでいくことにします。 ... 続きをみる
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標記論文の第1節を読むのに長大な時間を要してしまいました。物理学の方程式を考察状況に合わせて解き、解を得るということがとても大変であることを学びました。考察状況を正しく反映する諸条件を設定するだけではなく、利用する座標系の選び方、意味ある結果を得るための近似その他重要なことがたくさんあることがわ... 続きをみる
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前回、球面に及ぼされる圧力の座標成分 X_n = kξ{2A - (5AP^3/ρ^3) + 20FP^3}/ρ, Y_n = kη{2B - (5BP^3/ρ^3) + 20FP^3}/ρ, Z_n = kζ{2C - (5CP^3/ρ^3) + 20FP^3}/ρ, か計算できました。という... 続きをみる
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いまだに標記論文の第1節を読んでいます。一口に運動方程式を解いて解を求めるといっても、一長一短に出来るわけではないことがよく分かります。運動方程式を解くという行為は方程式を、解けるように、解けるように、つじつまを合わせて解いていくという感じです。そのために仮定を設けたり、寄与を判断して、寄与の少... 続きをみる
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アインシュタインがストークス近似された連立方程式の定常解を見出したところまで読み進むことが出来ましたが、まだまだ先があります。標記論文の第1節 1. 液体中に浮かぶ微小な球が,液体に及ぼす影響 の続きを読みます。 さて、速度場の関数 u, v, w を空間点 (x_0, y_0, z_0) の... 続きをみる
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標記論文の第1節 1. 液体中に浮かぶ微小な球が,液体に及ぼす影響 の続きを読みます。前回の投稿では、アインシュタインが提示した連立方程式の解 u, v, w が、ρ が大きいところで境界条件を満たすことまで確かめていました。今回は、解 u, v, w が ρ = P のときの境界条件を満たすこ... 続きをみる
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標記論文の第1節 1. 液体中に浮かぶ微小な球が,液体に及ぼす影響 の続きを読みます。第1節の読後報告が続いていますが、いままでのアインシュタインの論文に比べて議論が濃密であるような印象を受けます。論旨の省略はないものの、計算の省略が多いので、なかなか理解が進みません。 アインシュタインは速度場... 続きをみる
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標記論文の第1節 1. 液体中に浮かぶ微小な球が,液体に及ぼす影響 の続きを読みます。脚注によれば、アインシュタインは調和関数としての p を (p/k)=2c(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ) と選んで △V = (1/k)p を満たす関数 V を V = c(∂^2ρ/∂ξ^2) + b{(∂^... 続きをみる
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標記論文の第1節 1. 液体中に浮かぶ微小な球が,液体に及ぼす影響 の続きを読みます。アインシュタインは速度場の関数 u, v, w が慣性を無視した粘性流体の方程式を満たすはずだとして、 (∂p/∂ξ) = k△u, (∂p/∂η) = k△v, (∂p/∂ζ) = k△w (∂u/∂... 続きをみる
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『ブラウン運動』に関する論文の読後報告途中でこのブログを放置しても良いだろうと甘いことを考えていましたが、何故か投稿を続けてしまいました。閲覧してくださる方々がいらっしゃることで調子に乗ってしまったのだと思います。ここまでアインシュタインの『特殊相対性理論』と『光量子仮説』と『ブラウン運動』に関... 続きをみる
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1905年の論文「熱の分子運動から要請される,静止液体中に浮かぶ小さな粒子の運動について」(その5)
投稿の題目を閑話休題(その2)としなくてすみそうです。標記論文の第4節 4. 液体懸濁粒子の無秩序運動と,運動と拡散の関係について の続きを読みます。と言っても暗礁に乗り上げたままの、手抜き投稿です。アインシュタインは本節の初めでひとつの懸濁粒子の X 座標の変位 Δ を確率密度 φ(Δ) に従... 続きをみる
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1905年の論文「熱の分子運動から要請される,静止液体中に浮かぶ小さな粒子の運動について」(その4)
標記論文の第4節 4. 液体懸濁粒子の無秩序運動と,運動と拡散の関係について の続きを読みます。ここまでで、アインシュタインは単位体積あたりの懸濁粒子数 ν = f(x, t) は拡散方程式 (∂f/∂t) = D(∂^2f/∂x^2) を満たすべきであることまでは導いていましたが、目的であった... 続きをみる
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1905年の論文「熱の分子運動から要請される,静止液体中に浮かぶ小さな粒子の運動について」(その3)
今回の投稿に際し、先ず本ブログを閲覧してくださった方々にお礼を申し上げます。ありがとうございました。そして特殊相対性理論について多くを教えていただき、このブログを開設してはどうかと勧めてくださった近隣の某ブログ主催者の方にも感謝申し上げます。ブログ開設以来アクセス数が延べ1000を越えました。一... 続きをみる
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1905年の論文「熱の分子運動から要請される,静止液体中に浮かぶ小さな粒子の運動について」(その2)
標記論文の第3節 3. 微小な懸濁球体の拡散理論 を読みます。この節でアインシュタインは懸濁粒子が液体中にランダムに浮かんで分布している系を取り上げています。そしてそれぞれの粒子には位置に依存するが時間には依存しない力 K が作用しているという仮定の下で、懸濁粒子の力学的平衡について調べています... 続きをみる
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1905年の論文「熱の分子運動から要請される,静止液体中に浮かぶ小さな粒子の運動について」(その1)
ここまでアインシュタインの『特殊相対性理論』と『光量子仮説』に関する論文を読んできました。 アインシュタイン論文選「奇跡の年」の5論文 アルベルト・アインシュタイン 著 ジョン・スタチェル 編 青木薫 訳 筑摩書房(ちくま学芸文庫) 2011年 には、5本の論文が訳出されていますので、形だけです... 続きをみる
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1905年の論文「光の生成と変換に関する,ひとつの発見法的観点について」(その8)
アインシュタインが、光がエネルギー量子から出来ているとしたときに着目した光の発生と変換の2つ目の法則は、光電効果です。そこで第8節 8. 固体への光照射による陰極線の発生について を読みます。アインシュタインはこの節で光量子仮説によって光電効果を解明し、このことがノーベル賞受賞の切っ掛けとなり... 続きをみる
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1905年の論文「光の生成と変換に関する,ひとつの発見法的観点について」(その7)
いよいよ標記論文の第6節 6. 単色放射のエントロピーの体積依存性を表す式につての,ボルツマン原理に基づく解釈 を読みます。有名な光量子仮説が登場します。アインシュタインは標記論文の第4節で単色放射のエントロピーの体積依存性について S - S_0 = (E/βν) ln (v/v_0) という... 続きをみる
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1905年の論文「光の生成と変換に関する,ひとつの発見法的観点について」(その6)
標記論文の第5節 5. 気体のエントロピーと希薄溶液のエントロピーの,体積依存性に関する分子論的考察 を読みます。アインシュタインは、分子論の方法でエントロピーを計算するとき、“確率”という言葉が確率論の定義とは異なる意味で用いられることが多いと述べています。コルモゴロフによって確率をルベーグ測... 続きをみる
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1905年の論文「光の生成と変換に関する,ひとつの発見法的観点について」(その5)
第2節では、プランクの輻射公式 ρ_ν = αν^3/{e^(βν/T) - 1} で、波長が長く、放射のエネルギー密度が大きい場合、つまりレイリー・ジーンズの輻射公式の場合、βν/T ≪ 1 のときの近似式 e^(βν/T) ≒ 1 + βν/T を利用して、これまで用いられてきた理論的基礎が... 続きをみる
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1905年の論文「光の生成と変換に関する,ひとつの発見法的観点について」(その4)
前回無理矢理3月中の投稿をしましたので、満足のいく報告にはならなかったのですが、冷静に他の投稿と比較して読んでみれば今までと50歩100歩なので、よしとしてご批判に甘んじることにします。 さて、次は第2節 『2. プランクが求めた諸素量について』 です。アインシュタインはこの節でプランクが黒体... 続きをみる
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1905年の論文「光の生成と変換に関する,ひとつの発見法的観点について」(その3)
長らくさぼっていました。正直に言えば分からないことが多すぎます。1行読んだだけで頭を抱えてしまいます。アインシュタインは世紀の天才なので、常人ではないのは分かりますが、こうなると私が常人にも劣るという正当な評価さえにも悔しい思いをします。 さて、第1節 『1. “黒体放射”の困難について』 に... 続きをみる
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1905年の論文「光の生成と変換に関する,ひとつの発見法的観点について」(その2)
ひるむことなく無謀にも、標記論文の第1節 1. “黒体放射”の困難について を読もうと思いますが、それに先立ち、黒体輻射の問題について復習しておきます。実は投稿が大幅に遅れた原因がこれです。私にとっては復習などではなく、黒体輻射の問題の勉強でした。参りました。熱力学から勉強を始めなければなりませ... 続きをみる
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1905年の論文「光の生成と変換に関する,ひとつの発見法的観点について」(その1)
これまでの投稿で、アインシュタインの特殊相対性理論に関する初期の論文の読後報告をしてきました。 アインシュタイン論文選「奇跡の年」の5論文 アルベルト・アインシュタイン 著 ジョン・スタチェル 編 青木薫 訳 筑摩書房(ちくま学芸文庫) 2011年 には、今まで読後報告を投稿してきた特殊相対性理... 続きをみる
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1905年の論文「物体の慣性は,その物体に含まれるエネルギーに依存するか」
アインシュタイン論文選「奇跡の年」の5論文 アルベルト・アインシュタイン 著 ジョン・スタチェル 編 青木薫 訳 筑摩書房(ちくま学芸文庫) 2011年 には、アインシュタインが先んじて発表した論文『運動物体の電気力学』に続いて、標記論文が訳出されています。この論文で、論文『運動物体の電気力学』の... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その12)
まず、開設以来延べ500回を超える閲覧をいただきましたこと感謝申し上げます。 さて、標記論文の B 電気力学の部 10 (ゆっくり加速された)電子の力学 という節の続きを読みます。 慣性質量についての考察の後、アインシュタインは電子の運動エネルギーについて考察しています。静止系 K 系の原点... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その11)
標記論文の B 電気力学の部 10 (ゆっくり加速された)電子の力学 という節を読みます。 アインシュタインはこの論文の序論で、静止系 K 系として、ニュートンの力学方程式が成り立つ座標系を仮定していました。今、電荷 ε を帯びた電子が、電磁場の中を運動しているとします。そこで静止系 K 系に... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その10)
標記論文の B 電気力学の部 9 マックスウェル-ヘルツ方程式の変換.対流電流を考慮した場合 という節の続きを読みます。 静止系 K 系における電荷密度と電流密度がある場合ののマックスウェル-ヘルツの方程式 (1/V){u_xρ + (∂X/∂t)} = (∂N/∂y) - (∂M/∂z), ... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その9)
標記論文の B 電気力学の部 9 マックスウェル-ヘルツ方程式の変換.対流電流を考慮した場合 という節を読みます。 これまでは、真空中の自由空間でのマックスウェル-ヘルツの方程式に着目してきましたが、この節では電荷および電流がある場合のマックスウェル-ヘルツの方程式が取り上げられています。CG... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その8)
長らく更新していませんでしたが、さぼっていたわけではなく、計算で苦労して投稿原稿をまとめることができませんでした。中学生程度の文字式の計算力ではやはり整合性のある結果に到達するのは難しいです。 さて、標記論文の B 電気力学の部 8 光線のエネルギーの変換.完全反射鏡にかかる放射圧の理論 とい... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その7)
標記論文の B 電気力学の部 8 光線のエネルギーの変換.完全反射鏡にかかる放射圧の理論 という節を読みます。 一般に、電場 (X,Y,Z) と磁場 (L,M,N) の電磁場のエネルギー密度は u = (1/8π){(X^2 + Y^2 + Z^2) + (L^2 + M^2 + N^2)} ... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その6)
静止系 K 係における電磁波の波面の法線方向 (a,b,c) と、電気力ベクトル (X0,Y0,Z0)、磁気力ベクトル (L0,M0,N0) の位置関係と、運動系 k 系における電磁波の波面の法線方向 (a',b',c') と、電気力ベクトル (X'0,Y'0,Z'0)、磁気力ベクトル (L'0... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その5)
標記論文の B 電気力学の部 7 ドップラーの原理と光行差の理論 という節の続き、電磁波の振幅についての考察をを読むための準備をします。 静止系 K 系では十分な精度で、 X = X0 sinΦ, Y = Y0 sinΦ, Z = Z0 sinΦ および L = L0 sinΦ, M =... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その4)
標記論文の B 電気力学の部 7 ドップラーの原理と光行差の理論 という節に進みます。静止系 K 系の原点から遠く離れたところにある電気力学的な波源、つまり電磁波の光源を考えます。その光源から放出される電磁波は、静止系 K 系の原点を含む空間領域では十分な精度で、 X = X0 sinΦ, Y... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その3)
標記論文の B 電気力学の部 6 真空に対するマックスウェル-ヘルツの方程式の変換.磁場中での運動によって生じる起電力の性質について という節の続きをさらに読んでいきます。真空中のマックスウェル-ヘルツの方程式が静止系 K 系から運動系 k 系へと座標変換されるのにともない、静止系 K 系での電... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その2)
標記論文の B 電気力学の部 6 真空に対するマックスウェル-ヘルツの方程式の変換.磁場中での運動によって生じる起電力の性質について という節の続きを読んでいきます。アインシュタインは真空中のマックスウェル-ヘルツの方程式を静止系 K 系 (x,y,z,t) で (1/V)(∂X/∂t) = (... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部(その1)
いよいよ本論の核心部分です。『特殊相対性原理』と『光速度不変の原理』に基づく運動学の法則を電気力学に応用します。標記論文の B 電気力学の部を読んでいきます。 アインシュタインは 6 真空に対するマックスウェル-ヘルツの方程式の変換.磁場中での運動によって生じる起電力の性質について という節で,... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 A 運動学の部(その7)
標記論文の第5節までで『特殊相対性原理』と『光速度不変の原理』の2つの基本原理に従い、いくつかの運動学的な考察がなされました。そのなかで、静止系 K 系に対して運動系 k 系が一様な速度 u で移動しているとき、静止系 K 系の量 (x,y,z,t) を運動系 k 系の量 (ξ,η,ζ,τ) に... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 A 運動学の部(その6)
『特殊相対性原理』と『光速度不変の原理』の2つの基本原理に従えば、運動している物体は運動方向に収縮し、運動している時計は遅れるという結果に導かれました。さらに速度を加え合わせることについても、単純な和にはならないことが示されています。 5 速度の加法定理 という節を読みます。 静止系 K 系の... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 A 運動学の部(その5)
後に特殊ローレンツ変換、ローレンツブースト変換と呼ばれる変換式を導出できました。アインシュタインはこの変換式を利用すると、時間と空間に関してどのような知見が得られるのかをまとめています。また、標記論文の 2 長さと時間の相対性 という節では具体的に述べていなかった rAB に相当するものについて... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 A 運動学の部(その4)
標記論文の 3 座標および時間の変換理論:静止系から、それに対して等速度で並進運動をしている別の座標系へ という節の半ばまで読み進めてきました。そして、関数 τ(x',y,z,t) が満たすべき偏微分方程式 (∂τ/∂x') + {v/(V^2 - v^2)}(∂τ/∂t) = 0 (∂τ/∂y... 続きをみる
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1905 年の論文「運動物体の電気力学」 A 運動学の部(その3)
アインシュタインは座標系の設定に関わる重要な知見を得ました。複製のような座標系を2つ用意して互いに他に対して移動させてしまうと片方は座標系として使い物にならなくなってしまうというのはゆゆしき事態です。そこでそれをふまえて 3 座標および時間の変換理論:静止系から、それに対して等速度で並進運動をし... 続きをみる
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1905年の論文「運動物体の電気力学」 A 運動学の部(その2)
なんとか第1節を読み終えました。アインシュタインの文章は一つ一つの事柄を丁寧に積み上げていく論証になっていました。そう感じると同時に行間をきちんと読んでいかないと、思考過程を正しく追うことが出来ないのではないかと肝に銘じました。教科書を読むのと生の論文を読むのとでは、追うべき行間の深さのようなも... 続きをみる
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1905年の論文「運動物体の電気力学」 A 運動学の部(その1)
なんとか序論は読み終えました。次はいよいよ本論です。標記論文の A 運動学の部を読んでいきます。 アインシュタインは 1 同時性の定義 という節で、座標系に対する詳細な考察を経て2つの時計の同期を定義しています。 先ず『静止系』と呼ばれる座標系を導入します。この座標系はニュートンの力学方程式... 続きをみる
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大きなことを言って打ち上げ花火を盛大にぶちかましただけでは格好が悪いので、なんとか論文を読み進めてまとめを投稿したいと思っていたのですが、恥ずかしながらすでに音を上げています。日本語訳ではあってもひとりだけで原著論文を読むのは難解です。幸いアインシュタインの文章と直接対決するのではなく、訳者の見... 続きをみる
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