1905 年の論文「運動物体の電気力学」 B 電気力学の部（その４）

2021/10/27 05:08

　標記論文の B 電気力学の部

7 ドップラーの原理と光行差の理論

という節に進みます。静止系 K 系の原点から遠く離れたところにある電気力学的な波源、つまり電磁波の光源を考えます。その光源から放出される電磁波は、静止系 K 系の原点を含む空間領域では十分な精度で、

X ＝ X0 sinΦ，　　Y ＝ Y0 sinΦ，　　Z ＝ Z0 sinΦ

および

L ＝ L0 sinΦ，　　M ＝ M0 sinΦ，　　N ＝ N0 sinΦ

そして正弦進行波の時刻 t、空間座標 (x，y，z) での位相は

Φ ＝ ω{t － (ax ＋ by ＋ cz)/V}

で表されるものとします。ここで (X0，Y0，Z0) と (L0，M0，N0) は直線偏光した電磁波の波列の振幅を定めるベクトルで、a，b，c は波列の方向の方向余弦です。このとき、運動系 k 系静止している観測者がこの電磁波を調べるとどのような知見が得られるのかを考えます。

　第6節で得られた電気力と磁気力についての関係式と、第3節で得られた空間座標と時間についての変換式を用いると、ただちに

X' ＝ X0 sinΦ'，　　Y' ＝ β{{Y0 － (v/V)N0} sinΦ'，　　Z' ＝ β{Z0 ＋ (v/V)M0} sinΦ'

および

L' ＝ L0 sinΦ'，　　M' ＝ β{M0 ＋ (v/V)Z0} sinΦ'，　　N' ＝ β{N0 － (v/V)Y0} sinΦ'

そして

Φ’ ＝ ω'{τ － (a'ξ ＋ b'η ＋ c'ζ)/V}

を得ることができます。ここで、

τ ＝ β{t － (v/V^2)x}

ξ ＝ β(x － vt)

η ＝ y

ζ ＝ y

の逆変換

t ＝ β{τ ＋ (v/V^2)ξ}

x ＝ β(ξ ＋ vτ)

y ＝ η

z ＝ ζ

を用いて、Φ を書き換えて、

ω{t － (ax ＋ by ＋ cz)/V}

＝ ωβ{τ ＋ (v/V^2)ξ} － ω{aβ(ξ ＋ vτ)＋bη＋cζ}/V

＝ {ωβVτ － ωaβvτ ＋ (ωβv/V)ξ － ωaβξ － ωbη － ωcζ}/V

＝ [ωβ(V － av)τ － ωβ{a － (v/V)}ξ － ωbη － ωcζ]/V

＝ ωβ{1 － a(v/V)}τ － [ωβ{a － (v/V)}ξ － (ωb)η － (ωc)ζ]/V

＝ ωβ{1 － a(v/V)}τ － ω[β{a － (v/V)}ξ － bη － cζ]/V

とし、

ω' ＝ ωβ{1 － a(v/V)}

a' ＝ {a － (v/V)}/{1 － a(v/V)}

b' ＝ b/β{1 － a(v/V)}

c' ＝ c/β{1 － a(v/V)}

と置いて、

Φ' ＝ ω'{τ － (a'ξ ＋ b'η ＋ c'ζ)/V}

としています。

　さて、アインシュタインは、ω' の式

ω' ＝ ωβ{1 － a(v/V)}

について考察を進め、ドップラー効果について言及しています。静止系 K 系の座標原点から無限遠方に静止している光源を考えます。この光源から振動数 ν の光が放射されているとします。今、観測者を静止系 K 系の X 軸の正の方向に速度 v で移動していて、光源と観測者とを結ぶ線が、観測者の速度の方向に対して角度 φ をなしているとします。角度 φ は静止系 K 系の X 軸の正の方向となす角でもあるので、光の進行方向の方向余弦 a，b，c のうち

a ＝ cos φ

であることがわかります。よって観測者が観測する光の振動数は、

ω ＝ 2πν，　　ω' ＝ 2πν'

として

ν' ＝ ν{1 － (v/V) cos φ}/√{1 － (v/V)^2}

で与えられます。アインシュタインはこれを、任意の速度についてのドップラーの原理であると述べています。しかし同時に、φ ＝ 0 ととって、cos φ ＝ 1 としたとき、振動数の式は簡単化され、

ν' ＝ ν√[{1 － (v/V)}/{1 ＋ (v/V)}]

となって一般に知られている

ν' ＝ ν[{1 － (v/V)}/{1 ＋ (v/V)}]

とは異なっていることにも言及しています。また、v → －V の極限で、ν' → ＋∞ となることも指摘しています。

　アインシュタインは、次に

a' ＝ {a － (v/V)}/{1 － a(v/V)}