標記論文の B 電気力学の部

7 ドップラーの原理と光行差の理論

という節の続き、電磁波の振幅についての考察をを読むための準備をします。

　静止系 K 系では十分な精度で、

X ＝ X0 sinΦ，　　Y ＝ Y0 sinΦ，　　Z ＝ Z0 sinΦ

および

L ＝ L0 sinΦ，　　M ＝ M0 sinΦ，　　N ＝ N0 sinΦ

そして正弦進行波の時刻 t、空間座標 (x，y，z) での位相が

Φ ＝ ω{t － (ax ＋ by ＋ cz)/V}

で表されるものとされていました。ここで (X0，Y0，Z0) と (L0，M0，N0) は直線偏光した電磁波の波列の振幅を定める電場と磁場のベクトルでした。これらは運動系 k 系へと変換され、

X' ＝ X'0 sinΦ'，　　Y' ＝ Y'0 sinΦ'，　　Z' ＝ Z'0 sinΦ'

および

L' ＝ L'0 sinΦ'，　　M' ＝ M'0 sinΦ'，　　N' ＝ N'0 sinΦ'

そして

Φ' ＝ ω'{τ － (a'ξ ＋ b'η ＋ c'ζ)/V}

であることがわかっています。ここで

X'0 ＝ X0，　　Y'0 ＝ β{Y0 － (v/V)N0}，　　Z'0 ＝ β{Z0 ＋ (v/V)M0}

L'0 ＝ L0，　　M'0 ＝ β{M0 ＋ (v/V)Z0}，　　N'0 ＝ β{N0 － (v/V)Y0}

ω' ＝ ωβ{1 － a(v/V)}

a' ＝ {a － (v/V)}/{1 － a(v/V)}

b' ＝ b/β{1 － a(v/V)}

c' ＝ c/β{1 － a(v/V)}

β ＝ 1/√{1 － (v1/V)^2}

です。ここで、(a'，b'，c') が運動系 k 系での電磁波の伝搬方向の方向余弦であることを確かめておきます。

a'^2 ＋ b'^2 ＋ c'^2

＝ {a － (v/V)}^2/{1 － a(v/V)}^2 ＋ b^2/β^2{1 － a(v/V)}^2 ＋ c^2/β^2{1 － a(v/V)}^2

＝ [β^2{a － (v/V)}^2 ＋ b^2 ＋ c^2]/β^2{1 － a(v/V)}^2

＝ [{a － (v/V)}^2 ＋ {1 － (v1/V)^2}(b^2 ＋ c^2)]/{1 － a(v/V)}^2

＝ [{a － (v/V)}^2 ＋ {1 － (v1/V)^2}(1 － a^2)]/{1 － a(v/V)}^2

＝ [{a~2 － 2a(v/V) ＋ (v/V)^2} ＋ {1 － (v1/V)^2－ a^2 ＋ a^2(v/V)^2}]/{1 － a(v/V)}^2

＝ {1 － 2a(v/V) ＋ a^2(v/V)^2}/{1 － a(v/V)}^2 ＝ 1

ここで、

a^2 ＋ b^2 ＋ c^2 ＝ 1

を用いています。

　電気力ベクトルの2乗または磁気力ベクトルの2乗を評価するには、準備が必要です。まず、電場ベクトル (X0，Y0，Z0) と磁場ベクトル (L0，M0，N0) の6個の成分はすべてを任意に選ぶことができないことに注意しなければなりません。電場と磁場は、静止系 K 系 (x，y，z，t) での真空中のマックスウェル-ヘルツの方程式

(1/V)(∂X/∂t) ＝ (∂N/∂y) － (∂M/∂z)，　　(1/V)(∂L/∂t) ＝ (∂Y/∂z) － (∂Z/∂y)

(1/V)(∂Y/∂t) ＝ (∂L/∂z) － (∂N/∂x)，　　(1/V)(∂M/∂t) ＝ (∂Z/∂x) － (∂X/∂z)

(1/V)(∂Z/∂t) ＝ (∂M/∂x) － (∂L/∂y)，　　(1/V)(∂N/∂t) ＝ (∂Y/∂y) － (∂Z/∂x)

および静止系 K 系での電場と磁場に関するガウスの法則

(∂X/∂x) ＋ (∂Y/∂y) ＋ (∂Z/∂z) ＝ 0，　　(∂L/∂x) ＋ (∂M/∂y) ＋ (∂N/∂z) ＝ 0

に従わなければならないからです。このことから、静止系 K 系での電磁波の波面の法線方向 (a，b，c) と、電気力ベクトル (X0，Y0，Z0)、磁気力ベクトル (L0，M0，N0) との位置関係がわかります。

Φ ＝ ω{t － (ax ＋ by ＋ cz)/V}

より、

(∂Φ/∂x) ＝ －ωa/V，　　(∂Φ/∂y) ＝ －ωb/V，　　(∂Φ/∂z) ＝ －ωc/V，　　(∂Φ/∂t) ＝ ω

ですから

(1/V)(∂X/∂t) ＝ (∂N/∂y) － (∂M/∂z)

より

(ω/V)X0 cos Φ ＝ －(ωb/V)N0 cos Φ ＋ (ωc/V)M0 cos Φ　　　　∴　X0 ＝ －bN0 ＋ cM0，

(1/V)(∂Y/∂t) ＝ (∂L/∂z) － (∂N/∂x)

より

(ω/V)Y0 cos Φ ＝ －(ωc/V)L0 cos Φ ＋ (ωa/V)N0 cos Φ　　　　∴　Y0 ＝ －cL0 ＋ aN0，

(1/V)(∂Z/∂t) ＝ (∂M/∂x) － (∂L/∂y)

より

(ω/V)Z0 cos Φ ＝ －(ωa/V)M0 cos Φ ＋ (ωb/V)L0 cos Φ　　　　∴　Z0 ＝ －aM0 ＋ bL0

と計算されます。この結果はベクトル積

(Ax，Ay，Az) × (Bx，By，Bz) ＝ (AyBz － AzBy，AzBx － AxBz，AxBy － AyBx)

の表記を用いると、すべての時刻、あらゆる空間の場所場所で

(X0，Y0，Z0)

＝ (－bN0 ＋ cM0，－cL0 ＋ aN0，－aM0 ＋ bL0) ＝ － (a，b，c) × (L0，M0，N0)

＝ (L0，M0，N0) × (a，b，c)

のように、電気力ベクトル (X0，Y0，Z0) が、磁気力ベクトル (L0，M0，N0) と法線方向 (a，b，c) のベクトル積で表されることを示しています。

さらに、

(1/V)(∂L/∂t) ＝ (∂Y/∂z) － (∂Z/∂y)

より

(ω/V)L0 cos Φ ＝ －(ωc/V)Y0 cos Φ ＋ (ωb/V)Z0 cos Φ　　　　∴　L0 ＝ －cY0 ＋ bZ0，

(1/V)(∂M/∂t) ＝ (∂Z/∂x) － (∂X/∂z)

より

(ω/V)M0 cos Φ ＝ －(ωa/V)Z0 cos Φ ＋ (ωc/V)X0 cos Φ　　　　∴　M0 ＝ －aZ0 ＋ cX0，

(1/V)(∂N/∂t) ＝ (∂X/∂y) － (∂Z/∂x)

より

(ω/V)N0 cos Φ ＝ －(ωb/V)X0 cos Φ ＋ (ωa/V)Y0 cos Φ　　　　∴　N0 ＝ －bX0 ＋ aY0

と計算されます。この結果をベクトル積で表すと、すべての時刻、あらゆる空間の場所場所で

(L0，M0，N0)

＝ (－cY0 ＋ bZ0，－aZ0 ＋ cX0，－bX0 ＋ aY0) ＝ －(X0，Y0，Z0) × (a，b，c)

＝ (a，b，c) × (X0，Y0，Z0)

となります。従って、電気力ベクトルは、磁気力ベクトルと、法線方向の単位ベクトルが張る平面に垂直であること、磁気力ベクトルは、法線方向の単位ベクトルと、電気力ベクトルが張る平面に垂直であることがわかります。

　このことは、電場に関するガウスの法則

(∂X/∂x) ＋ (∂Y/∂y) ＋ (∂Z/∂z)

＝ X0 (∂Φ/∂x)cosΦ ＋ Y0 (∂Φ/∂y)cosΦ ＋ Z0 (∂Φ/∂z)cosΦ

＝ －(aX0 ＋ bY0 ＋ cZ0)(ω/V)cosΦ ＝ 0

から、すべての時刻、あらゆる空間の場所場所で

aX0 ＋ bY0 ＋ cZ0 ＝ 0

が従い、磁場に関するガウスの法則

(∂L/∂x) ＋ (∂M/∂y) ＋ (∂N/∂z) ＝ 0

からは同様の計算によって、すべての時刻、あらゆる空間の場所場所で

aL0 ＋ bM0 ＋ cN0 ＝ 0

が従うことからもわかります。これらは電磁波の伝搬方向に対して、電気力ベクトルと磁気力ベクトルがともに垂直であること、つまり電磁波が横波であることを示しています。

　以上のことから、静止系 K 系では、電気力ベクトル (X0，Y0，Z0)、磁気力ベクトル (L0，M0，N0)、電磁波の波面の法線方向の単位ベクトル (a，b，c) はすべて互いに直交し、空間座標系でいえば、仮に法線方向が Z 軸方向であったとすると、電気力ベクトルは X 軸方向、磁気力ベクトルは Y 軸方向という位置関係にあることがわかります。さらに、3つのベクトルは直交しているので、sin(π/2) ＝ 1 ですから電気力ベクトルと磁気力ベクトルの長さが等しくなることもわかります。

(X0)^2 ＋ (Y0)^2 ＋ (Z0)^2 ＝ (L0)^2 ＋ (M0)^2 ＋ (N0)^2

アインシュタインはこのことを指して、このベクトルの長さを

静止系で測定した電気力または磁気力の振幅を A，

と表現しました。

　次に、運動系 k 系 (ξ，η．ζ，τ) でもマックスウェル-ヘルツの方程式

(1/V)(∂X'/∂τ) ＝ (∂N'/∂η) － (∂M'/∂ζ)，　　(1/V)(∂L'/∂τ) ＝ (∂Y'/∂ζ) － (∂Z'/∂η)

(1/V)(∂Y'/∂τ) ＝ (∂L'/∂ζ) － (∂N'/∂ξ)，　　(1/V)(∂M'/∂τ) ＝ (∂Z'/∂ξ) － (∂X'/∂ζ)

(1/V)(∂Z'/∂τ) ＝ (∂M'/∂ξ) － (∂L'/∂η)，　　(1/V)(∂N'/∂τ) ＝ (∂X'/∂η) － (∂Y'/∂ξ)

および運動系 k 系での電場と磁場に関するガウスの法則

(∂X'/∂ξ) ＋ (∂Y'/∂η) ＋ (∂Z'/∂ζ) ＝ 0，　　(∂L'/∂ξ) ＋ (∂M'/∂η) ＋ (∂N'/∂ζ) ＝ 0

を満していなければなりません。このことから、静止系 K 系での計算と同様に

Φ' ＝ ω'{τ － (a'ξ ＋ b'η ＋ c'ζ)/V}

より、

(∂Φ'/∂ξ) ＝ －ω'a'/V，　　(∂Φ'/∂η) ＝ －ω'b'/V，　　(∂Φ'/∂ζ) ＝ －ω'c'/V，　　(∂Φ'/∂τ) ＝ －ω'

によって偏微分を評価して、すべての時刻、あらゆる空間の場所場所で

(X'0，Y'0，Z'0) ＝ (L'0，M'0，N'0) × (a'，b'，c')，

(L'0，M'0，N'0) ＝ (a'，b'，c') × (X'0，Y'0，Z'0)，

a'X'0 ＋ b'Y'0 ＋ c'Z'0 ＝ 0，　　a'L'0 ＋ b'M'0 ＋ c'N'0 ＝ 0

となることから、運動系 k 系でも、電気力ベクトル (X'0，Y'0，Z'0)、磁気力ベクトル (L'0，M'0，N'0)、電磁波の波面の法線方向 (a'，b'，c') はすべて互いに直交し、空間座標系でいえば、仮に法線方向が Ζ 軸方向であったとすると、電気力ベクトルは Ξ 軸方向、磁気力ベクトルは Η 軸方向という位置関係にあることがわかります。さらに、3つのベクトルは直交しているので、sin(π/2) ＝ 1 ですから電気力ベクトルと磁気力ベクトルの長さが等しくなることもわかります。

(X'0)^2 ＋ (Y'0)^2 ＋ (Z'0)^2 ＝ (L'0)^2 ＋ (M'0)^2 ＋ (N'0)^2

アインシュタインはこのことを指して、このベクトルの長さを

運動系で測定した振幅を A' とすれば，

と表現しました。

　準備に手間取りましたが、この計算結果を踏まえて、運動系 k 系での電磁波の振幅と、静止系 K 系での電磁波の振幅を計算することにします。なお、この投稿では、小林稔著　電気力学　岩波全書239　(1977)　を参照して計算しました。