静止系 K 係における電磁波の波面の法線方向 (a，b，c) と、電気力ベクトル (X0，Y0，Z0)、磁気力ベクトル (L0，M0，N0) の位置関係と、運動系 k 系における電磁波の波面の法線方向 (a'，b'，c') と、電気力ベクトル (X'0，Y'0，Z'0)、磁気力ベクトル (L'0，M'0，N'0) の位置関係がそれぞれわかりました。この計算をもとに、標記論文の B 電気力学の部

7 ドップラーの原理と光行差の理論

という節の続き、電磁波の振幅についての考察を読んでいきます。

　運動系 k 系で計測した電気力または磁気力の振幅を A' と、静止系 K 系で計測した電気力または磁気力の振幅を A とを比較することにします。静止系 K 系では十分な精度で、

X ＝ X0 sinΦ，　　Y ＝ Y0 sinΦ，　　Z ＝ Z0 sinΦ

および

L ＝ L0 sinΦ，　　M ＝ M0 sinΦ，　　N ＝ N0 sinΦ

そして正弦進行波の時刻 t、空間座標 (x，y，z) での位相が電磁波の伝搬方向の方向余弦を (a，b，c) として、

Φ ＝ ω{t － (ax ＋ by ＋ cz)/V}

で表されるものとされていました。ここで (X0，Y0，Z0) と (L0，M0，N0) は直線偏光した電磁波の波列の振幅を定める電気力ベクトルと磁気力ベクトルでした。これらは運動系 k 系へと変換され、

X' ＝ X'0 sinΦ'，　　Y' ＝ Y'0 sinΦ'，　　Z' ＝ Z'0 sinΦ'

および

L' ＝ L'0 sinΦ'，　　M' ＝ M'0 sinΦ'，　　N' ＝ N'0 sinΦ'

そして

Φ' ＝ ω'{τ － (a'ξ ＋ b'η ＋ c'ζ)/V}

であることがわかっています。ここで

X'0 ＝ X0，　　Y'0 ＝ β{Y0 － (v/V)N0}，　　Z'0 ＝ β{Z0 ＋ (v/V)M0}

L'0 ＝ L0，　　M'0 ＝ β{M0 ＋ (v/V)Z0}，　　N'0 ＝ β{N0 － (v/V)Y0}

ω' ＝ ωβ{1 － a(v/V)}

a' ＝ {a － (v/V)}/{1 － a(v/V)}

b' ＝ b/β{1 － a(v/V)}

c' ＝ c/β{1 － a(v/V)}

β ＝ 1/√{1 － (v1/V)^2}

です。

静止系 K 系で測定した電磁波の振幅、電気力または磁気力の振幅の2乗は、

A^2 ＝ (X0)^2 ＋ (Y0)^2 ＋ (Z0)^2 ＝ (L0)^2 ＋ (M0)^2 ＋ (N0)^2

であり、運動系 k 系で測定した電磁波の振幅、電気力または磁気力の振幅の2乗は、

A'^2 ＝ (X'0)^2 ＋ (Y'0)^2 ＋ (Z'0)^2 ＝ (L'0)^2 ＋ (M'0)^2 ＋ (N'0)^2

です。ここでは電気力ベクトルについて計算を進めることにします。

A'^2 ＝ (X'0)^2 ＋ (Y'0)^2 ＋ (Z'0)^2

＝ (X0)^2 ＋ [β{Y0 － (v/V)N0}]^2 ＋ [β{Z0 ＋ (v/V)M0}]^2

ここで、磁気力ベクトルの成分 M0 と N0 はマックスウェル-ヘルツの方程式

(1/V)(∂M/∂t) ＝ (∂Z/∂x) － (∂X/∂z)，　　(1/V)(∂N/∂t) ＝ (∂X/∂y) － (∂Z/∂x)

から導かれる関係式

M0 ＝ －aZ0 ＋ cX0，　　N0 ＝ －bX0 ＋ aY0

を用いて書き換えることが出来て

A'^2 ＝ (X0)^2 ＋ [β{(1 － a(v/V))Y0 ＋ b(v/V)X0}]^2 ＋ [β{(1 － a(v/V))Z0 ＋ c(v/V)X0}]^2

＝ {1 ＋ b^2(v/V)^2 ＋ c^2(v/V)^2}(X0)^2 ＋ β^2{1 － a(v/V)}^2(Y0)^2 ＋ β^2{1 － a(v/V)}^2(Z0)^2

   ＋ 2β^2[b{1 － a(v/V)}(v/V)](X0)(Y0) ＋ 2β^2[c{1 － a(v/V)}(v/V)](X0)(Z0)

＝ {1 ＋ (b^2 ＋ c^2)(v/V)^2}(X0)^2 ＋ β^2{1 － a(v/V)}^2{(Y0)^2 ＋ (Z0)^2}

   ＋ 2β^2[(bY0 ＋ cZ0){1 － a(v/V)}(v/V)]X0

となります。方向余弦 (a，b，c) には、

a^2 ＋ b^2 ＋ c^2 ＝ 1

が成り立ちますから、

b^2 ＋ c^2 ＝ 1 － a^2

であり、静止系 K 系での電場に関するガウスの法則から

aX0 ＋ bY0 ＋ cZ0 ＝ 0

が成り立つことから

bY0 ＋ cZ0 ＝ －aX0

であることを用いると、

A'^2 ＝ {1 ＋ (1 － a^2)β^2(v/V)^2}(X0)^2 ＋ β^2{1 － a(v/V)}^2{(Y0)^2 ＋ (Z0)^2} － 2β^2[aX0{1 － a(v/V)}(v/V)]X0

＝ {1 ＋ (1 － a^2)β^2(v/V)^2}(X0)^2 ＋ β^2{1 － a(v/V)}^2{(Y0)^2 ＋ (Z0)^2} － 2aβ^2{1 － a(v/V)}(v/V)(X0)^2

＝ [1 ＋ (1 － a^2)β^2(v/V)^2 － 2aβ^2{1 － a(v/V)}(v/V)](X0)^2 ＋ β^2{1 － a(v/V)}^2{(Y0)^2 ＋ (Z0)^2}

となります。ここからは (X0)^2 の係数だけを取り出して計算すると

1 ＋ (1 － a^2)β^2(v/V)^2 － 2aβ^2{1 － a(v/V)}(v/V)

＝ β^2[{1 － (v/V)^2} ＋ (1 － a^2)(v/V)^2 － 2a{1 － a(v/V)}(v/V)]

＝ β^2[1 － (v/V)^2 ＋ (v/V)^2 － a^2(v/V)^4 － 2a(v/V) ＋ 2a^2(v/V)^2]

＝ β^2[1 － 2a(v/V) ＋ a^2(v/V)^4v/V)^4^2]

＝ β^2{1 － a(v/V)}^2

となりますから、

A'^2 ＝ β^2{1 － a(v/V)}^2{(X0)^2 ＋ (Y0)^2 ＋ (Z0)^2}

とまとめられるので

A'^2 ＝ A^2{1 － a(v/V)}^2/{1 － (v/V)^2}

となります。

　静止系 K 系での電磁波の伝搬方向の方向余弦 a は、X 軸と等位相面の法線ベクトルがなす角を φ として

a ＝ cos φ

ですから、論文中の式

A'^2 ＝ A^2{1 － (v/V) cos φ}^2/{1 － (v/V)^2}

が導かれます。特に φ ＝ 0 とすると

A'^2 ＝ A^2{1 － (v/V)}^2/{1 － (v/V)^2} ＝ A^2{1 － (v/V)}/{1 ＋ (v/V)}

です。アインシュタインは、v → －V で ＋∞ に発散することに注目し、光速度 V で光源に向かう観測者には、光源が無限に強い光を放射しているように見えることになると述べています。

以上で第7節を読み終えました。