標記論文の第5節までで『特殊相対性原理』と『光速度不変の原理』の2つの基本原理に従い、いくつかの運動学的な考察がなされました。そのなかで、静止系 K 系に対して運動系 k 系が一様な速度 u で移動しているとき、静止系 K 系の量 (x，y，z，t) を運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) に変換する式、

ξ ＝ β(u)(x － ut)

η ＝ y

ζ ＝ z

τ ＝ β(u){t － (u/V^2)x}

が導出されました。ここで

β(u) ＝ 1/√{1 － (u/V)^2}

です。そして同じ方向で一様な移動をする座標系の間の変換全体は群を構成すると述べられていました。

　ここで群とは次のようなものです。ある集合で、任意の2つの元に演算が定義されていて、この集合は演算に関して閉じているとします。つまり演算結果もまたこの集合の元です。この演算については結合法則が成り立つものとします。そしてこの集合には任意の元と演算しても変わらない単位元と、任意の元と演算して単位元となる逆元が含まれています。このときこの集合のことを群と呼びます。

　そこでアインシュタインの指摘通りに同じ方向で一様な移動をする座標系の間の変換全体の集合を考えます。この集合の元は変換で、静止系 K 系に対して運動系 k 系が一様な速度 u で移動しているとき、上で述べた静止系 K 系の量 (x，y，z，t) を運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) に変換するといった2つの座標系に関するものです。ここで、変換のパラメータとなる速度 u は

－ V ＜ u ＜ V

の範囲の速度であるとします。

　次にこれらの変換の間に演算を定義します。そのために運動系 k 系の Ξ 軸の方向に速度 v で移動する第3の座標系 k' 系を新たに考えまする。すると、運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) を第3の系 k' 系の量 (ξ'，η'，ζ'，τ') に変換する式

ξ' ＝ β(v)(ξ － vτ)

η' ＝ η

ζ' ＝ ζ

τ' ＝ β(v){τ － (v/V^2)ξ}

もまた同じ集合の元であることがわかります。ここで、

β(v) ＝ 1/√{1 － (v/V)^2}

です。そこでこの集合の元に対する演算を、静止系 K 系の量 (x，y，z，t) を運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) に変換し、引き続いて、運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) を第3の系 k' 系の量 (ξ'，η'，ζ'，τ') に変換するということだと定義します。この引き続けての変換では、第5節で計算されたように

ξ' ＝ β{(u ＋ v)/(1 ＋ uv/V^2)}[x － {(u ＋ v)/(1 ＋ uv/V^2)}t]

η' ＝ y

ζ' ＝ z

τ' ＝ β{(u ＋ v)/(1 ＋ uv/V^2)}[t － {(u ＋ v)/(1 ＋ uv/V^2)}x/V^2]

となります。つまり静止系 K 系の量 (x，y，z，t) は静止系 K 系に対して速度

(u ＋ v)/(1 ＋ uv/V^2)

で移動している第3の系 k' 系の量 (ξ'，η'，ζ'，τ') への変換式となり、演算の結果得られた変換もまたこの集合の元であることがわかります。従って、この集合は今定義したこの演算に関して閉じていることがわかりました。

　そこで今度はこの演算の結合法則を確かめます。結合法則を確かめるには第4の系 k" 系が必要になります。第4の系 k" 系は、第3の系 k' 系の Ξ' 軸方向に一様な速度 w で移動しているとします。これで4つの座標系は、静止系 K 系に対して運動系 k 系が一様な速度 u で移動し、運動系 k 系に対して第3の系 k' 系が一様な速度 v で移動し、第3の系 k' に対して第4の系 k" 系が一様な速度 w で共に同じ方向で移動しているという位置関係になります。

　静止系 K 系の量 (x，y，z，t) を、静止系 K 系に対して一様な速度 u で移動している運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) に変換し、それに引き続き、運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) を一様な速度 v で移動している第3の系 k' 系の量 (ξ'，η'，ζ'，τ') へ変換すると、静止系 K 系の量 (x，y，z，t) は静止系 K 系に対して速度

(u ＋ v)/(1 ＋ uv/V^2)

で移動している第3の系 k' 系の量 (ξ'，η'，ζ'，τ') への変換式となることがわかりましたが、さらにこれを第3の系 k' に対して一様な速度 w で移動している第4の系 k" 系の量 (ξ"，η"，ζ"，τ") への変換と演算してみます。つまり静止系 K 系から運動系 k 系への変換と運動系 k 系から第3の系 k' 系への変換を演算して得られた静止系 K 系から第3の系 k' 系への変換に引き続けて、第4の系 k" 系への演算をするということです。この結果は今までの計算から速度 (u ＋ v)/(1 ＋ uv/V^2) と速度 w を第5節の速度の加法定理に従って加え合わせた速度での変換となります。実際、速度 (u ＋ v)/(1 ＋ uv/V^2) と速度 w の合成は

U ＝ {(u ＋ v)/(1 ＋ uv/V^2) ＋ w}/{1＋(u ＋ v)w/(1 ＋ uv/V^2)V^2}

＝ {(u ＋ v) ＋ w(1 ＋ uv/V^2)}/{(1 ＋ uv/V^2)＋(u ＋ v)w/V^2}

＝ (u ＋ v ＋ w ＋ uvw/V^2)/{(1 ＋ (uv ＋ vw ＋wu)/V^2}

となり、静止系 K 系に対して一様な速度 U で移動する第4の系 k" 系への変換となり、この変換もこの集合の元であることがわかります。

　一方、運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) を第3の系 k' 系の量 (ξ'，η'，ζ'，τ') に変換に引き続けて、第3の系 k' 系の量 (ξ'，η'，ζ'，τ') を第3の系 k' に対して一様な速度 w で移動している第4の系 k" 系の量 (ξ"，η"，ζ"，τ") への変換すると、第5節の計算結果から、運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) 量は、運動系 k 系に対して速度

(v ＋ w)/(1 ＋ vw/V^2)

で移動している第4の系 k" 系の量 (ξ"，η"，ζ"，τ") への変換となります。そこで、静止系 K 系の量 (x，y，z，t) を静止系 K 系に対して一様な速度 u で移動している運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) に変換した後、引き続いて、このあらかじめ演算された変換を演算してみます。つまり静止系 K 系から運動系 k 系への変換に引き続けて、運動系 k 系から第3の系 k' 系への変換と第3の系 k' 系から第4の系 k" 系への変換を演算して得られた変換を演算するということです。この結果は今までの計算から速度 u と速度 (v ＋ w)/(1 ＋ vw/V^2) を第5節の速度の加法定理に従って加え合わせた速度での変換となります。実際、速度 u と速度 (v ＋ w)/(1 ＋ vw/V^2) の合成は

{u ＋ (v ＋ w)/(1 ＋ vw/V^2)}/{1 ＋ u(v ＋ w)/(1 ＋ vw/V^2)V^2}

＝ {u(1 ＋ vw/V^2) ＋ (v ＋ w)}/{(1 ＋ vw/V^2) ＋ u(v ＋ w)/V^2}

＝ (u ＋ v ＋ w ＋ uvw/V^2)/{(1 ＋ (uv ＋ vw ＋wu)/V^2} ＝ U

となって、上で得た変換の演算結果に一致し、静止系 K 系に対して一様な速度 U で移動する第4の系 k" 系への変換となり、上で得たこの集合の元に一致することがわかります。これで、この集合の元に対する演算は結合法則を満たしていることがわかりました。

　さらに、単位元と逆元がこの集合に含まれることを示します。単位元となる変換は次のようなものです。もし、静止系 K 系の量 (x，y，z，t) を静止系 K 系に対して一様な速度 u で移動している運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) への変換に引き続き、運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) を一様な速度 v で移動している第3の系 k' 系の量 (ξ'，η'，ζ'，τ') への変換するとき、静止系 K 系から運動系 k 系への変換が単位元であれば、静止系 K 系から運動系 k 系への変換と運動系 k 系から第3の系 k' 系への変換との演算結果は、静止系 K 系に対して一様な速度 v で移動している第3の系 k' 系への変換となります。また、運動系 k 系から第3の系 k' 系への変換が単位元であれば、静止系 K 系から運動系 k 系への変換と運動系 k 系から第3の系 k' 系への変換との演算結果は、静止系 K 系に対して一様な速度 u で移動している第3の系 k' 系への変換となります。

　つまり前者の場合には、静止系 K 系から運動系 k 系への変換は恒等変換であり、後者の場合には、運動系 k 系から第3の系 k' 系への変換が恒等変換であるということです。実際、

ξ ＝ β(u)(x － ut)

η ＝ y

ζ ＝ z

τ ＝ β(u){t － (u/V^2)x}

において、u ＝ 0 とおくと、

ξ ＝ x

η ＝ y

ζ ＝ z

τ ＝ t

となり、恒等変換であることがわかります。また

ξ' ＝ β(v)(ξ － vτ)

η' ＝ η

ζ' ＝ ζ

τ' ＝ β(v){τ － (v/V^2)ξ}

においても、v ＝ 0 とおけば同様に、

ξ' ＝ ξ

η' ＝ η

ζ' ＝ ζ

τ' ＝ τ

となって、恒等変換であることがわかります。そして速度が 0 の場合の変換が恒等変換であり、恒等変換はこの集合に含まれています。

　逆元となる変換は次のようなものです。もし、静止系 K 系の量 (x，y，z，t) を静止系 K 系に対して一様な速度 u で移動している運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) への変換に引き続き、運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) を一様な速度 v で移動している第3の系 k' 系の量 (ξ'，η'，ζ'，τ') への変換するとき、静止系 K 系から運動系 k 系への変換が運動系 k 系から第3の系 k' 系への変換の逆元であれば、静止系 K 系から運動系 k 系への変換と運動系 k 系から第3の系 k' 系への変換との演算結果は、恒等変換となり、静止系 K 系に対して静止している系への変換となります。つまり第3の系 k' 系は静止系 K 系と一致していることになります。従って、u ＝ －v です。実際、

ξ ＝ β(u)(x － ut)

η ＝ y

ζ ＝ z

τ ＝ β(u){t － (u/V^2)x}

において、u ＝ －v とすると、

ξ ＝ β(－v){x － (－v)t} ＝ β(v)(x ＋ vt)

η ＝ y

ζ ＝ y

τ ＝ β(－v){t － (－v/V^2)x} ＝ β(v){t ＋ (v/V^2)x}

であり、上の変換に引き続いて、

ξ' ＝ β(v)(ξ － vτ)

η' ＝ η

ζ' ＝ ζ

τ' ＝ β(v){τ － (v/V^2)ξ}

を演算すれば恒等変換になることがわかリます。また、同様の演算で、運動系 k 系から第3の系 k' 系への変換が静止系 K 系から運動系 k 系への変換の逆元であれば、静止系 K 系から運動系 k 系への変換と運動系 k 系から第3の系 k' 系への変換との演算結果は、恒等変換となり、静止系 K 系に対して静止している系への変換となります。つまり第3の系 k' 系は静止系 K 系と一致していることになります。従って、v ＝ －u です。実際、

ξ' ＝ β(－u){ξ － (－u)τ} ＝ β(u)(ξ ＋ uτ)

η' ＝ η

ζ' ＝ ζ

τ' ＝ β(－u){τ － (－u/V^2)ξ} ＝ β(u){τ ＋ (u/V^2)ξ}

であり、

ξ ＝ β(u)(x － ut)

η ＝ y

ζ ＝ z

τ ＝ β(u){t － (u/V^2)x}

に引き続いて、上の変換を演算すれば、恒等変換になることがわかリます。そして速度 u に対する速度 －u の変換、および速度 v に対する速度 －v の変換がそれぞれ対応する逆変換であり、逆変換はこの集合に含まれています。

　以上で、アインシュタインの指摘の通り、同じ方向で一様な移動をする座標系の間の変換全体の集合は、群をなすことが示されました。さてこの後の考察はいよいよ電気力学へと進みます。