いよいよ本論の核心部分です。『特殊相対性原理』と『光速度不変の原理』に基づく運動学の法則を電気力学に応用します。標記論文の B 電気力学の部を読んでいきます。

アインシュタインは

6 真空に対するマックスウェル-ヘルツの方程式の変換．磁場中での運動によって生じる起電力の性質について

という節で，アインシュタインは真空中のマックスウェル-ヘルツの方程式が静止系 K 系で成り立つとして考察をしています。マックスウェルは電磁場の方程式から波動方程式の存在に気付き、電磁波を予言しましたが、それを実験的に証明したのがヘルツです。

(1/V)(∂X/∂t)＝(∂N/∂y)－(∂M/∂z)，　　(1/V)(∂L/∂t)＝(∂Y/∂z)－(∂Z/∂y)

(1/V)(∂Y/∂t)＝(∂L/∂z)－(∂N/∂x)，　　(1/V)(∂M/∂t)＝(∂Z/∂x)－(∂X/∂z)

(1/V)(∂Z/∂t)＝(∂M/∂x)－(∂L/∂y)，　　(1/V)(∂N/∂t)＝(∂Y/∂y)－(∂Z/∂x)

ここで、(X，Y，Z) は電気力のベクトル、つまり電場であり、(L，M，N) は磁気力のベクトル、つまり磁場を表しています。この6個の式は CGS ガウス単位系での、電流密度を 0 とした真空中のマックスウェル方程式の中の2つ、アンペール-マックスウェルの法則とファラデーの電磁誘導の法則をベクトル成分の方程式で表したものです。さらに残りのガウスの法則の式も後に必要になるのであげておきます。電荷密度は 0 なので、電場に関して、

(∂X/∂x) ＋ (∂Y/∂y) ＋ (∂Z/∂z)＝0

が、磁場に関して、

(∂L/∂x) ＋ (∂M/∂y) ＋ (∂N/∂z)＝0

が成り立ちます。

　次に第3節で導出した静止系 K 系から運動系 k 系への変換式

τ ＝ β{t － (v/V^2)x}

ξ ＝ β(x － vt)

η ＝ y

ζ ＝ z

を使って6個の式の変数変換を行います。合成関数の微分法に従えば、微分演算は、

∂/∂x ＝ (∂ξ/∂x)(∂/∂ξ) ＋ (∂τ/∂x)(∂/∂τ) ＝ β(∂/∂ξ) － (vβ/V^2)(∂/∂τ)

∂/∂y ＝ ∂/∂η

∂/∂z ＝ ∂/∂ζ

∂/∂t ＝ (∂ξ/∂t)(∂/∂ξ) ＋ (∂τ/∂t)(∂/∂τ) ＝ －vβ(∂/∂ξ) ＋ β(∂/∂τ)

と変換されますから、静止系 K 系の量 (x，y，z，t) に関する微分を運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) に関する微分に置き換えてこれらの方程式を書き換えます。2行目以降の

(1/V)(∂Y/∂t) ＝ (∂L/∂z) － (∂N/∂x)，　　(1/V)(∂M/∂t) ＝ (∂Z/∂x) － (∂X/∂z)

(1/V)(∂Z/∂t) ＝ (∂M/∂x) － (∂L/∂y)，　　(1/V)(∂N/∂t) ＝ (∂Y/∂y) － (∂Z/∂x)

については、微分演算を書き換えるだけで

(1/V){－vβ(∂Y/∂ξ) ＋ β(∂Y/∂τ)} ＝ (∂L/∂ζ) － β(∂N/∂ξ) ＋ (vβ/V^2)(∂N/∂τ)

(β/V)(∂Y/∂τ) － (vβ/V^2)(∂N/∂τ) ＝ (∂L/∂ζ) － β(∂N/∂ξ) ＋ (v/V)β(∂Y/∂ξ)

(1/V)(∂/∂τ)β{Y － (v/V)N} ＝ (∂L/∂ζ) － (∂/∂ξ)β{N － (v/V)Y}

となり、

(1/V){－vβ(∂Z/∂ξ) ＋ β(∂Z/∂τ)} ＝ β(∂M/∂ξ) － (vβ/V^2)(∂M/∂τ) － (∂L/∂η)

(1/V)β(∂Z/∂τ) ＋ (vβ/V^2)(∂M/∂τ)} ＝ β(∂M/∂ξ) ＋ (v/V)β(∂Z/∂ξ) － (∂L/∂η)

(1/V)(∂/∂τ)β{Z ＋ (v/V)M} ＝ (∂/∂ξ)β{M ＋ (v/V)Z} － (∂L/∂η)

となり、

(1/V){－vβ(∂M/∂ξ) ＋ β(∂M/∂τ)} ＝ β(∂Z/∂ξ) － (vβ/V^2)(∂Z/∂τ) － (∂X/∂ζ)

(1/V)β(∂M/∂τ) ＋ (vβ/V^2)(∂Z/∂τ) ＝ β(∂Z/∂ξ) ＋ (v/V)β(∂M/∂ξ) － (∂X/∂ζ)

(1/V)(∂/∂τ)β{M ＋ (v/V)Z}^2 ＝ (∂/∂ξ)β{Z ＋ (v/V)M} － (∂X/∂ζ)

となり、

(1/V){－vβ(∂N/∂ξ) ＋ β(∂N/∂τ)} ＝ (∂X/∂η) － {β(∂Y/∂ξ) － (vβ/V^2)(∂Y/∂τ)}

(1/V)β(∂N/∂τ) － (vβ/V^2)(∂Y/∂τ)＝ (∂X/∂η) － {β(∂Y/∂ξ) － (v/V)β(∂N/∂ξ)}

(1/V)(∂/∂τ)β{N － (v/V)Y} ＝ (∂X/∂η) － (∂/∂ξ)β{Y － (v/V)N}

となります。

　一方、1行目の2本の式

(1/V)(∂X/∂t) ＝ (∂N/∂y) － (∂M/∂z)，　　(1/V)(∂L/∂t) ＝ (∂Y/∂z) － (∂Z/∂y)

については、微分演算を書き換えるだけではξに関する微分を処理できないので、ガウスの法則を用いて処理することになります。まず左の式の微分演算を書き換えると

(1/V)β(∂X/∂τ) ＝ (v/V)β(∂X/∂ξ) ＋ (∂N/∂η) － (∂M/∂ζ)

となりますが、ξについての微分を電場に関するガウスの法則

(∂X/∂x) ＋ (∂Y/∂y) ＋ (∂Z/∂z) ＝ 0

を用いて、

β(∂X/∂ξ) － (vβ/V^2)(∂X/∂τ) ＋ (∂Y/∂ηy) ＋ (∂Z/∂ζ) ＝ 0

β(∂X/∂ξ) ＝ (vβ/V^2)(∂X/∂τ) － (∂Y/∂ηy) － (∂Z/∂ζ)

によって書き換えると、

(1/V)β(∂X/∂τ) ＝ (v/V){(vβ/V^2)(∂X/∂τ) － (∂Y/∂ηy) － (∂Z/∂ζ)} ＋ (∂N/∂η) － (∂M/∂ζ)

(1/V)β(∂X/∂τ) － (v^2β/V^3)(∂X/∂τ) ＝ － (v/V)(∂Y/∂ηy) － (v/V)(∂Z/∂ζ) ＋ (∂N/∂η) － (∂M/∂ζ)

(β/V){1 － (v^2/V^2)}(∂X/∂τ) ＝ (∂/∂η){N － (v/V)Y} － (∂/∂ζ){M ＋ (v/V)Z}

(1/V)(∂X/∂τ) ＝ (∂/∂η)β{N － (v/V)Y} － (∂/∂ζ)β{M ＋ (v/V)Z}

となります。また同様に右の式についても、

(1/V)β(∂L/∂τ) ＝ (v/V)β(∂L/∂ξ) ＋ (∂Y/∂ζ) － (∂Z/∂η)

となりますが、ξについての微分を磁場に関するガウスの法則

(∂L/∂x) ＋ (∂M/∂y) ＋ (∂N/∂z) ＝ 0

を用いて、

{β(∂L/∂ξ) － (vβ/V^2)(∂L/∂τ)} ＋ (∂M/∂η) ＋ (∂N/∂ζ) ＝ 0

β(∂L/∂ξ) ＝ (vβ/V^2)(∂L/∂τ) － (∂M/∂η) － (∂N/∂ζ)

によって書き換えると、

(1/V)β(∂L/∂τ) ＝ (v^2β/V^3)(∂L/∂τ) ＋ (∂Y/∂ζ) － (∂Z/∂η) － (v/V)(∂M/∂η) － (v/V)(∂N/∂ζ)

(β/V){1 － (v^2/V^2)}(∂L/∂τ) ＝ (∂/∂ζ){Y － (v/V)N} － (∂/∂η){Z － (v/V)M}

(1/V)(∂L/∂τ) ＝ (∂/∂ζ)β{Y － (v/V)N} － (∂/∂η)β{Z － (v/V)M}

となります。

以上をまとめると、静止系 K 系での真空中のマックスウェル-ヘルツの方程式

(1/V)(∂X/∂t) ＝ (∂N/∂y) － (∂M/∂z)，　　(1/V)(∂L/∂t) ＝ (∂Y/∂z) － (∂Z/∂y)

(1/V)(∂Y/∂t) ＝ (∂L/∂z) － (∂N/∂x)，　　(1/V)(∂M/∂t) ＝ (∂Z/∂x) － (∂X/∂z)

(1/V)(∂Z/∂t) ＝ (∂M/∂x) － (∂L/∂y)，　　(1/V)(∂N/∂t) ＝ (∂Y/∂y) － (∂Z/∂x)

は運動系 k 系に

(1/V)(∂X/∂τ) ＝ (∂/∂η)β{N － (v/V)Y} － (∂/∂ζ)β{M ＋ (v/V)Z}

(1/V)(∂/∂τ)β{Y － (v/V)N} ＝ (∂L/∂ζ) － (∂/∂ξ)β{N － (v/V)Y}

(1/V)(∂/∂τ)β{Z ＋ (v/V)M} ＝ (∂/∂ξ)β{M ＋ (v/V)Z} － (∂L/∂η)

および

(1/V)(∂L/∂τ) ＝ (∂/∂ζ)β{Y － (v/V)N} － (∂/∂η)β{Z － (v/V)M}

(1/V)(∂/∂τ)β{M ＋ (v/V)Z}^2 ＝ (∂/∂ξ)β{Z ＋ (v/V)M} － (∂X/∂ζ)

(1/V)(∂/∂τ)β{N － (v/V)Z} ＝ (∂Y/∂η) － (∂/∂ξ)β{Z － (v/V)N}

と変数変換されることになります。ここで

β ＝ 1/√{1 － (v1/V)^2}

です。

　さて、計算が長くなりましたので、ここで一段落とし、続きは次の投稿に譲りたいと思います。