いまだに標記論文の第1節を読んでいます。一口に運動方程式を解いて解を求めるといっても、一長一短に出来るわけではないことがよく分かります。運動方程式を解くという行為は方程式を、解けるように、解けるように、つじつまを合わせて解いていくという感じです。そのために仮定を設けたり、寄与を判断して、寄与の少ないものを無視したりします。

　そんなわけで、アインシュタインに従って半径 R の領域内部にある液体中で熱に転換される単位時間当たりのエネルギーを、液体に対してなされた力学的な仕事率

W ＝ ∫∫ (X_nu ＋ Y_nv ＋ Z_nw) dS

として計算しようとしていますが、なかなか結果に至りません。積分は半径 R の球の表面全域について行います。アインシュタインはこの面積分を (P/ρ)^3 を含む項に対して (P/ρ)^5 を含む項を無視する近似で実行しています。ここで P は液体中にある剛体球の半径、ρ は剛体球の中心 (x_0，y_0，z_0) からの動径です。ということで標記論文の第1節

1. 液体中に浮かぶ微小な球が，液体に及ぼす影響

の続きを読みます。前回の投稿では、静水圧と速度場を

p ＝ －5kFP^3

u ＝ ξ{A － (5/2)FP^3}，　　v ＝ η{B － (5/2)FP^3}，　　w ＝ ζ{C － (5/2)FP^3}

F ＝ (Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2)/ρ^5

とまとめたところまで計算を進めていました。これらを使って応力テンソルの成分

X_ξ ＝ p － 2k(∂u/∂ξ)，　　　X_η ＝ －k{(∂u/∂η) ＋ (∂v/∂ξ)}，　　　X_ζ ＝ －k{(∂w/∂ξ) ＋ (∂u/∂ζ)}

Y_ξ ＝ －k{(∂u/∂η) ＋ (∂v/∂ξ)}，　　　Y_η ＝ p － 2k(∂v/∂η)，　　　Y_ζ ＝ －k{(∂v/∂ζ) ＋ (∂w/∂η)}

Z_ξ ＝ －k{(∂w/∂ξ) ＋ (∂u/∂ζ)}、　　　Z_η ＝ －k{(∂v/∂ζ) ＋ (∂w/∂η)}，　　　Z_ζ ＝ p － 2k(∂w/∂ζ)

を計算します。その前に準備として種々の微分を計算しておきます。

(∂/∂ξ)(1/ρ^5) ＝ －(5ξ/ρ^7)，　　　(∂/∂η)(1/ρ^5) ＝ －(5η/ρ^7)，　　　(∂/∂ζ)(1/ρ^5) ＝ －(5ζ/ρ^7)，

(∂/∂ξ)(ξ^2/ρ^5) ＝ (ξ^2/ρ^5) － (5ξ^3/ρ^7)，　　　(∂/∂η)(η^2/ρ^5) ＝ (η^2/ρ^5) － (5η^3/ρ^7)，

(∂/∂ζ)(ζ^2/ρ^5) ＝ (ζ^2/ρ^5) － (5ζ^3/ρ^7)，

を用いて順番に微分を実行していきます。先ずは関数 F です。

(∂F/∂ξ) ＝ A(∂/∂ξ)(ξ^2/ρ^5) ＋ Bη^2(∂/∂ξ)(1/ρ^5) ＋ Cζ^2(∂/∂ξ)(1/ρ^5)

＝ A{(ξ^2/ρ^5) － (5ξ^3/ρ^7)} － 5B(ξη^2/ρ^7) － 5C(ξζ^2/ρ^7)

＝ (Aξ^2/ρ^5) － (5Aξ^3/ρ^7) － 5B(ξη^2/ρ^7) － 5C(ξζ^2/ρ^7)

＝ (Aξ^2/ρ^5) － (5ξF/ρ^2)，

(∂F/∂η) ＝ Aξ^2(∂/∂η)(1/ρ^5) ＋ B(∂/∂η)(η^2/ρ^5) ＋ Cζ^2(∂/∂η)(1/ρ^5)

＝ －5A(ξ^3/ρ^7) ＋ B{(η^2/ρ^5) － (5η^3/ρ^7)} － 5C(ηζ^2/ρ^7)

＝ B(η^2/ρ^5) － 5A(ξ^2η/ρ^7) － 5B(η^3/ρ^7) － 5C(ηζ^2/ρ^7)

＝ (Bη^2/ρ^5) － (5ηF/ρ^2)，

(∂F/∂ζ) ＝ Aξ^2(∂/∂ζ)(1/ρ^5) ＋ Bη^2(∂/∂ζ)(1/ρ^5) ＋ C(∂/∂ζ)(ζ^2/ρ^5)

＝ －5A(ξ^2ζ/ρ^7) － 5B(η^2ζ/ρ^7) ＋ C{(ζ^2/ρ^5) － (5ζ^3/ρ^7)}

＝ (Cζ^2/ρ^5) － 5A(ξ^2ζ/ρ^7) － 5B(η^2ζ/ρ^7) － 5C(ζ^3/ρ^7)

＝ (Cζ^2/ρ^5) － (5ζF/ρ^2)．

これらを利用して、速度の関数 u, v, w の微分を計算します。

(∂u/∂ξ) ＝ {A － (5/2)FP^3} ＋ ξ{－(5/2)P^3(∂F/∂ξ)} ＝ {A － (5/2)FP^3} － (5/2)P^3ξ{(2Aξ/ρ^5) － (5ξF/ρ^2)}

＝ {A－(5/2)FP^3} － (5/2)P^3ξ^2{(2A/ρ^5) － (5F/ρ^2)}，

(∂u/∂η) ＝ ξ{－(5/2)P^3(∂F/∂η)} ＝ －(5/2)P^3ξ{(2Bη/ρ^5) － (5ηF/ρ^2)} ＝ －(5/2)P^3ξη{(2B/ρ^5) － (5F/ρ^2)}，

(∂u/∂ζ) ＝ ξ{－(5/2)P^3(∂F/∂ζ)} ＝ －(5/2)P^3ξ{(2Cζ/ρ^5) － (5ζF/ρ^2)} ＝ －(5/2)P^3ξζ{(2C/ρ^5) － (5F/ρ^2)}，

(∂v/∂ξ) ＝ η{－(5/2)P^3(∂F/∂ξ)} ＝ －(5/2)P^3η{(2Aξ/ρ^5) － (5ξF/ρ^2)} ＝ －(5/2)P^3ξη{(2A/ρ^5) － (5F/ρ^2)}，

(∂v/∂η) ＝ {B － (5/2)FP^3} ＋ η{－(5/2)P^3(∂F/∂η)} ＝ {B － (5/2)FP^3} － (5/2)P^3η{(2Bη/ρ^5) － (5ηF/ρ^2)}

＝ {B － (5/2)FP^3} － (5/2)P^3η^2{(2B/ρ^5) － (5F/ρ^2)}，

(∂v/∂ζ) ＝ η{－(5/2)P^3(∂F/∂ζ)} ＝ －(5/2)P^3η{(2Cζ/ρ^5) － (5ζF/ρ^2)} ＝ －(5/2)P^3ηζ{(2C/ρ^5) －( 5F/ρ^2)}，

(∂w/∂ξ) ＝ ζ{－(5/2)P^3(∂F/∂ξ)} ＝ －(5/2)P^3ζ{(2Aξ/ρ^5) － (5ξF/ρ^2)} ＝ －(5/2)P^3ζξ{(2A/ρ^5) － (5F/ρ^2)}，

(∂w/∂η) ＝ ζ{－(5/2)P^3(∂F/∂η)} ＝ －(5/2)P^3ζ{(2Bη/ρ^5) － (5ηF/ρ^2)} ＝ －(5/2)P^3ηζ{(2B/ρ^5) － (5F/ρ^2)}，

(∂w/∂ζ) ＝ {C － (5/2)FP^3} ＋ ζ{－(5/2)P^3(∂F/∂ζ)} ＝ {C － (5/2)FP^3} － (5/2)P^3ζ{(2Cζ/ρ^5) － (5ζF/ρ^2)}

＝ {C － (5/2)FP^3} － (5/2)P^3ζ^2{(2C/ρ^5) － (5F/ρ^2)}，

となります。そしてこれらから応力テンソルの成分を計算します。

X_ξ ＝ p － 2k(∂u/∂ξ) ＝ －5kFP^3 － 2k[{A － (5/2)FP^3} － (5/2)P^3ξ^2{(2A/ρ^5) － (5F/ρ^2)}]

＝ －2kA － 5kP^3ξ^2{(2A/ρ^5) － (5F/ρ^2)} ＝ －2kA ＋ 10kP^3(Aξ^2/ρ^5) － 25kP^3(ξ^2F/ρ^2)，

X_η ＝ －k{(∂u/∂η) ＋ (∂v/∂ξ)} ＝ (5k/2)P^3[ξη{(2B/ρ^5) － (5F/ρ^2)} ＋ ξη{(2A/ρ^5) － (5F/ρ^2)}]

＝ (5k/2)ξηP^3[{2(A ＋ B)/ρ^5} － (10F/ρ^2)] ＝ 5kξηP^3[{(A ＋ B)/ρ^5} － (5F/ρ^2)]，

X_ζ ＝ －k{(∂w/∂ξ) ＋ (∂u/∂ζ)} ＝ (5k/2)P^3[ζξ{(2A/ρ^5) － (5F/ρ^2)} ＋ ξζ{(2C/ρ^5) － (5F/ρ^2)}]

＝ (5k/2)ζξP^3[{2(A ＋ C)/ρ^5} － (10F/ρ^2)] ＝ 5kζξP^3[{(A ＋ C)/ρ^5} － (5F/ρ^2)]．

Y_ξ ＝ －k{(∂u/∂η) ＋ (∂v/∂ξ)} ＝ (5k/2)P^3[ξη{(2B/ρ^5) － (5F/ρ^2)} ＋ ξη{(2A/ρ^5) － (5F/ρ^2)}]

＝ (5k/2)ξηP^3[{2(A ＋ B)/ρ^5] － (10F/ρ^2)] ＝ 5kξηP^3[{(A ＋ B)/ρ^5] － (5F/ρ^2)]，

Y_η ＝ p － 2k(∂v/∂η) ＝ －5kFP^3 － 2k[{B － (5/2)FP^3} － (5/2)P^3η^2{(2B/ρ^5) － (5F/ρ^2)}]

＝ －2kB ＋ 5kP^3η^2{(2B/ρ^5) － (5F/ρ^2)} ＝ －2kB ＋ 10kP^3(Bη^2/ρ^5) － 25kP^3(η^2F/ρ^2)，

Y_ζ ＝ －k{(∂v/∂ζ) ＋ (∂w/∂η)} ＝ (5k/2)P^3[ηζ{(2C/ρ^5) － (5F/ρ^2)} ＋ ηζ{(2B/ρ^5) － (5F/ρ^2)}]

＝ (5k/2)ηζP^3[{2(B ＋ C)/ρ^5} － (10F/ρ^2)] ＝ 5kηζP^3[{(B ＋ C)/ρ^5} － (5F/ρ^2)]．

Z_ξ ＝ －k{(∂w/∂ξ) ＋ (∂u/∂ζ)} ＝ (5k/2)P^3[ζξ{(2A/ρ^5) － (5F/ρ^2)} ＋ ξζ{(2C/ρ^5) － (5F/ρ^2)}]

＝ (5k/2)ζξP^3[{2(C ＋ A)/ρ^5} － (10F/ρ^2)] ＝ 5kζξP^3[{(C ＋ A)/ρ^5} － (5F/ρ^2)]，

Z_η ＝ －k{(∂v/∂ζ) ＋ (∂w/∂η)} ＝ (5k/2)P^3[ηζ{(2C/ρ^5) － (5F/ρ^2)} ＋ ηζ{(2B/ρ^5) － (5F/ρ^2)}]

＝ (5k/2)ηζP^3[{2(B ＋ C)/ρ^5} － (10F/ρ^2)] ＝ 5kηζP^3[{(B ＋ C)/ρ^5} － (5F/ρ^2)]，

Z_ζ ＝ p － 2k(∂w/∂ζ) ＝ －5kFP^3 － 2k[{C － (5/2)FP^3} － (5/2)P^3ζ^2{(2C/ρ^5) － (5F/ρ^2)}]

＝ －2kC ＋ 5kP^3ζ^2{(2C/ρ^5) － (5F/ρ^2)} ＝ －2kC ＋ 10kP^3(Cζ^2/ρ^5) － 25kP^3(ζ^2F/ρ^2)．

　さて、点 (x_0, y_0, z_0) のまわりに半径 ρ の球面上の点 (ξ, η, ζ) における球面に及ぼされる圧力の座標成分 X_n, Y_n, Z_n は

X_n ＝ －{X_ξ(ξ/ρ) ＋ X_η(η/ρ) ＋ X_ζ(ζ/ρ)}，

Y_n ＝ －{Y_ξ(ξ/ρ) ＋ Y_η(η/ρ) ＋ Y_ζ(ζ/ρ)}，

Z_n ＝ －{Z_ξ(ξ/ρ) ＋ Z_η(η/ρ) ＋ Z_ζ(ζ/ρ)}，

でしたから、これらから圧力の成分を求めることができます。

X_n ＝ －{X_ξ(ξ/ρ) ＋ X_η(η/ρ) ＋ X_ζ(ζ/ρ)

＝ －{－2kA ＋ 10kP^3(Aξ^2/ρ^5) － 25kP^3(ξ^2F/ρ^2)}(ξ/ρ) － 5kξηP^3[{(A ＋ B)/ρ^5} － (5F/ρ^2)](η/ρ) － 5kζξP^3[{(A ＋ C)/ρ^5} － (5F/ρ^2)](ζ/ρ)

＝ (2kAξ/ρ) － 5kξP^3[(2Aξ^2/ρ^6) ＋ {(A ＋ B)η^2/ρ^6} ＋ {(A ＋ C)ζ^2/ρ^6}] ＋ 25kξP^3[(ξ^2F/ρ^3) ＋ (Fη^2/ρ^3)＋(ζ^2F/ρ^3)]

＝ (2kAξ/ρ) － 5kξP^3[{A(ξ^2 ＋ η^2 ＋ ζ^2)＋(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2)}/ρ^6] ＋ 25kξP^3{(ξ^2 ＋ η^2 ＋ ζ^2)F/ρ^3}.

ここで

F ＝ (Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2)/ρ^5

を用いて整理すると

X_n ＝ (2kAξ/ρ) － (5kAξP^3/ρ^4) － (5kξFP^3/ρ) ＋ (25kξFP^3/ρ)

＝ (2kAξ/ρ) － (5kAξP^3/ρ^4) ＋ (20kξFP^3/ρ) ＝ kξ{2A － (5AP^3/ρ^3) ＋ 20FP^3}/ρ

を得ます。アインシュタインは、X_n を求めた後、変数 ξ，η，ζ についてサイクリックな置換によって、Y_n と Z_n を求めるとしていますが、ここでは検算もかねて計算で求めることとにします。

Y_n ＝ －{Y_ξ(ξ/ρ) ＋ Y_η(η/ρ) ＋ Y_ζ(ζ/ρ)}

＝ 5kξηP^3[{(A ＋ B)/ρ^5] － (5F/ρ^2)](ξ/ρ) － {－2kB ＋ 10kP^3(Bη^2/ρ^5) － 25kP^3(η^2F/ρ^2)}(η/ρ) － 5kηζP^3[{(B ＋ C)/ρ^5} － (5F/ρ^2)](ζ/ρ)

＝ (2kBη/ρ) － 5kηP^3[{(A ＋ C)ξ^2/ρ^6} － (5ξ^2F/ρ^3)] － 5kηP^3(2Bη^2/ρ^6) ＋ 5kηP^3(5η^2F/ρ^3) － 5kηP^3[{(B ＋ C)ζ^2/ρ^6} － (5Fζ^2/ρ^3)]

＝ (2kBη/ρ) － 5kηP^3[{(A ＋ B)ξ^2/ρ^6} ＋ {(B ＋ C)ζ^2/ρ^6} ＋ (2Bη^2/ρ^6)] ＋ 5kηP^3{(5ξ^2F/ρ^3) ＋ (5η^2F/ρ^3) ＋ (5Fζ^2/ρ^3)}

＝ (2kBη/ρ) － 5kηP^3[{B(ξ^2 ＋ η^2 ＋ ζ^2) ＋ (Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ C)ζ^2)}/ρ^6] ＋ 25kηP^3{(ξ^2 ＋ η^2 ＋ ζ^2)F/ρ^3}

＝ (2kBη/ρ) － (5kBηP^3/ρ^4) － (5kηFP^3/ρ) ＋ (25kηFP^3/ρ) ＝ (2kBη/ρ) － (5kBηP^3/ρ^4) ＋ (20kηFP^3/ρ)

＝ kη{2B － (5BP^3/ρ^3) ＋ 20FP^3}/ρ,

Z_n ＝ －{Z_ξ(ξ/ρ) ＋ Z_η(η/ρ) ＋ Z_ζ(ζ/ρ)}

＝ －5kζξP^3[{(C ＋ A)/ρ^5} － (5F/ρ^2)](ξ/ρ) － 5kηζP^3[{(B ＋ C)/ρ^5} － (5F/ρ^2)](η/ρ) － {－2kC ＋ 10kP^3(Cζ^2/ρ^5) － 25kP^3(ζ^2F/ρ^2)}(ζ/ρ)

＝ (2kCζ/ρ) － 5kζP^3[{(C ＋ A)ξ^2/ρ^6} － (5Fξ^2/ρ^3)] － 5kζP^3[{(B＋C)η^2/ρ^6} － (5Fη^2/ρ^3)] － 5kζP^3(2Cζ^2/ρ^6) ＋ 5kζP^3(5Fζ^2/ρ^3)

＝ (2kCζ/ρ) － 5kζP^3[{C(ξ^2 ＋ η^2 ＋ ζ^2) ＋ (Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2)}/ρ^6] ＋ 5kζP^3{5F(ξ^2 ＋ η^2 ＋ ζ^2)/ρ^3)}

＝ (2kCζ/ρ) － (5kCζP^3/ρ^4) － (5kζFP^3/ρ) ＋ (25kζFP^3/ρ) ＝ (2kCζ/ρ) － (5kCζP^3/ρ^4) ＋ (20kζFP^3/ρ)

＝ kζ{2C － (5CP^3/ρ^3) ＋ 20FP^3}/ρ.

これで、半径 ρ の球面上の点 (ξ, η, ζ) における球面に及ぼされる圧力の座標成分 X_n, Y_n, Z_n が求まりましたので、半径 R の領域内部にある液体中熱に転換される単位時間当たりのエネルギーを、液体に対してなされた力学的な仕事率

W ＝ ∫∫(X_nu ＋ Y_nv ＋ Z_nw) dS

として計算することが可能となりました。長くなりましたので、圧力と速度の内積の面積分は次回に譲ることにします。