アインシュタインがストークス近似された連立方程式の定常解を見出したところまで読み進むことが出来ましたが、まだまだ先があります。標記論文の第1節

1. 液体中に浮かぶ微小な球が，液体に及ぼす影響

の続きを読みます。

　さて、速度場の関数 u, v, w を空間点 (x_0, y_0, z_0) の回りにテーラー展開して一次の項で近似できる範囲の領域 G を考えましたが、その空間点の回りに半径 R の領域を考えます。ここで R は領域 G 内にある球の半径 P に比べて無限に大きいものとします。ここでアインシュタインはこの球の内部にある液体中の熱に転換されるエネルギーを計算しています。運動エネルギーは無視しているので、このエネルギー W は液体に対してなされた力学的な仕事として計算することが出来ると述べています。半径 R の境界表面に及ぼされる圧力の座標成分を X_n, Y_n, Z_n とすると

W ＝ ∫∫ (X_nu＋Y_nv＋Z_nw) dS

で、積分は半径 R の球の表面全域について行います。

　ところで半径 R の境界表面に及ぼされる圧力の座標成分を X_n, Y_n, Z_n は応力テンソルと境界表面の法線方向の単位ベクトルとの縮約で得られるベクトルの成分です。半径 ρ の球面上の点 (ξ, η, ζ) における内向き単位法線ベクトルの直交座標系 ξ, η, ζ に対する方向余弦は、点 (ξ, η, ζ) と座標軸の原点の位置関係から、{－(ξ/ρ), －(η/ρ), －(ζ/ρ)} であることが分かります。なので

X_n  ＝ －{X_ξ(ξ/ρ) ＋ X_η(η/ρ) ＋ X_ζ(ζ/ρ)}

Y_n ＝ －{Y_ξ(ξ/ρ) ＋ Y_η(η/ρ) ＋ Y_ζ(ζ/ρ)}

Z_n ＝ －{Z_ξ(ξ/ρ) ＋ Z_η(η/ρ) ＋ Z_ζ(ζ/ρ)}

となります。

　一方、応力テンソル P と変形速度テンソル E はともに対称テンソルで、主軸座標系 x, y, z が一致していて線形関係で結ばれると仮定されていますから、同時に対角化されるとすると、応力テンソル P ＝ diag(p_x, p_y, p_z) は変形速度テンソル E ＝ diag(e_x, e_y, e_z) の一次式で表されます。流体の等方性を仮定し、静水圧を p、粘性係数を k、第2粘性係数を k' として、

p_x ＝ p － (k' ＋ 2k)e_x － k'e_y － k'e_z ＝ p － k'(e_x ＋ e_y ＋ e_z) － 2ke_x

p_y ＝ p － k'e_x － (k' ＋ 2k)e_y － k'e_z ＝ p － k'(e_x  ＋ e_y ＋ e_z) － 2ke_y

p_z ＝ p － k'e_x － k'e_y － (k' ＋ 2k)e_z ＝ p － k'(e_x ＋ e_y ＋ e_z) － 2ke_z

となります。この関係式は主軸座標系 x, y, z から一般の座標系 ξ, η, ζ に変換しても一次式で表され、単位テンソルを I として

P ＝ (p － k'θ)I － 2kE

と書けることが分かります。ただし、E のトレースは直交変換では不変なので

tr E ＝ e_x ＋ e_y ＋ e_z ＝ (∂u/∂ξ) ＋ (∂v/∂η) ＋ (∂w/∂ζ) ＝ θ

と書いています。しかし今考えている流体は非圧縮性なので、

θ ＝ 0

であり、

P ＝ pI － 2kE

となります。アインシュタインはもちろん流体力学に長けていたはずなので以上の知見は省略して、応力テンソルの成分を変形速度テンソルの成分を

X_ξ ＝ p － 2k(∂u/∂ξ)，　　　X_η ＝ －k{(∂u/∂η) ＋ (∂v/∂ξ)}，　　　X_ζ ＝ －k{(∂w/∂ξ) ＋ (∂u/∂ζ)}

Y_ξ ＝ －k{(∂u/∂η) ＋ (∂v/∂ξ)}，　　　Y_η ＝ p － 2k(∂v/∂η)，　　　Y_ζ ＝ －k{(∂v/∂ζ) ＋ (∂w/∂η)}

Z_ξ ＝ －k{(∂w/∂ξ) ＋ (∂u/∂ζ)}、　　　Z_η ＝ －k{(∂v/∂ζ)＋(∂w/∂η)}，　　　Z_ζ ＝ p － 2k(∂w/∂ζ)

と書き下しています。

　さて、面積分すべき量を連立方程式の解で表すことが出来ましたので、実際に解である p, u, v, w の関数を用いて積分を実行します。そこでまずアインシュタインは被積分関数に含まれる速度場の関数

u ＝ Aξ － (5P^3/2ρ^5)ξ(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) ＋ (5P^5/2ρ^7)ξ(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) － (P^5/ρ^5)Aξ

v ＝ Bη － (5P^3/2ρ^5)η(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) ＋ (5P^5/2ρ^7)η(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) － (P^5/ρ^5)Bη

w ＝ Cζ － (5P^3/2ρ^5)ζ(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) ＋ (5P^5/2ρ^7)ζ(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) － (P^5/ρ^5)Cζ

の ρ ＝ R における関数値を評価しています。面積分を簡単化して近似計算するためです。R は P に比べて

R ≫ P

と十分大きく取っていますから、

1 ≫ P/R

であることから、u, v, w それぞれの第2項が (P/ρ)^3 を含むのに対し、第3項と第4項は (P/ρ)^5 を含むので、第2項に比べて第3項と第4項を無視することが出来ます。とすれば速度場の関数 u, v, w を

u ＝ Aξ － (5P^3/2ρ^5)ξ(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) ＝ ξ{A － (5/2)P^3(Aξ^2 ＋ Bη^2＋Cζ^2)/ρ^5}

v ＝ Bη － (5P^3/2ρ^5)η(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) ＝ η{B － (5/2)P^3(Aξ^2 ＋ Bη^2＋Cζ^2)/ρ^5}

w ＝ Cζ － (5P^3/2ρ^5)ζ(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) ＝ ζ{C － (5/2P^3)(Aξ^2 ＋ Bη^2＋Cζ^2)/ρ^5}

と近似して面積分出来ます。さらに、関数 p については

p ＝ (5/3)kP^3[A{(1/ρ^3) － (3ξ^2/ρ^5)} ＋ B{(1/ρ^3) － (3η^2/ρ^5)} ＋ C{(1/ρ^3) － (3ζ^2/ρ^5)}] ＋ 定数

＝ (5/3)kP^3{(A ＋ B ＋ C)/ρ^3 － 3(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2)/ρ^5} ＋ 定数

＝ －5kP^3(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2)/ρ^5 ＋ 定数

が成り立ちます。ここで、

A ＋ B ＋ C ＝ 0

を用いました。

　アインシュタインはこの近似を用いて

p ＝ －5kFP^3

u ＝ ξ{A － (5/2)FP^3}

v ＝ η{B － (5/2)FP^3}

w ＝ ζ{C － (5/2)FP^3}

F ＝ (Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2)/ρ^5

と簡略化して計算し、(P/ρ)^3 を含む項に比べて (P/ρ)^5 を含む項を無視することで面積分の計算を進めています。

　長くなりましたので、これらの偏導関数と被積分関数を確定して面積分を実行することは次回の投稿に譲ります。