標記論文の第1節

1. 液体中に浮かぶ微小な球が，液体に及ぼす影響

の続きを読みます。前回の投稿では、アインシュタインが提示した連立方程式の解 u, v, w が、ρ が大きいところで境界条件を満たすことまで確かめていました。今回は、解 u, v, w が ρ ＝ P のときの境界条件を満たすことについて考察を進めていきます。アインシュタインは

u ＝ Aξ － (5/3)P^2A(ξ/ρ^3) － (∂D/∂ξ)

の式で、実際に導関数 (∂D/∂ξ) を計算して、関数 u の露わな表式を求めています。この計算には導関数で表された関数 D の表式

D ＝ A{(5/6)P^3(∂^2ρ/∂ξ^2) ＋ (1/6)P^5(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ)}

　　　＋ B{(5/6)P^3(∂^2ρ/∂η^2) ＋ (1/6)P^5(∂^2/∂η^2)(1/ρ)}

　　　＋ C{(5/6)P^3(∂^2ρ/∂ζ^2) ＋ (1/6)P^5(∂^2/∂ζ^2)(1/ρ)}

を使うと見通しよいので、この式を ξ で微分していきます。

(∂D/∂ξ) ＝ A{(5/6)P^3(∂^2/∂ξ^2)(∂ρ/∂ξ) ＋ (1/6)P^5(∂^2/∂ξ^2)(∂/∂ξ)(1/ρ)}

　　　　＋ B{(5/6)P^3(∂^2/∂η^2)(∂ρ/∂ξ) ＋ (1/6)P^5(∂^2/∂η^2)(∂/∂ξ)(1/ρ)}

　　　　＋ C{(5/6)P^3(∂^2/∂ζ^2)(∂ρ/∂ξ) ＋ (1/6)P^5(∂^2/∂ζ^2)(∂/∂ξ)(1/ρ)}

の中で

(∂ρ/∂ξ) ＝ (ξ/ρ)，　　　(∂/∂ξ)(1/ρ) ＝ －(ξ/ρ^3)

について2階導関数を計算する必要があります。

(∂^2/∂ξ^2)(ξ/ρ) ＝ (∂/∂ξ){(∂/∂ξ)(ξ/ρ)}

　　　　　　＝ (∂/∂ξ){(1/ρ) ＋ ξ(∂/∂ξ)(1/ρ)} ＝ {2(∂/∂ξ)(1/ρ) ＋ ξ(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ)}

(∂^2/∂ξ^2)(ξ/ρ^3) ＝ (∂/∂ξ){(∂/∂ξ)(ξ/ρ^3)}

　　　　　　＝ (∂/∂ξ){(1/ρ^3) ＋ ξ(∂/∂ξ)(1/ρ^3)} ＝ {2(∂/∂ξ)(1/ρ^3) ＋ ξ(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ^3)}

ここで、(1/ρ) と (1/ρ^3) については別途2階導関数を計算しておくことにします。前回の投稿で

(∂/∂ξ)(1/ρ) ＝ －(ξ/ρ^3)，　　　(∂/∂η)(1/ρ) ＝ －(η/ρ^3)，　　　(∂/∂ζ)(1/ρ) ＝ －(ζ/ρ^3)

(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ) ＝ －(1/ρ^3)＋(3ξ^2/ρ^5)，　　　(∂^2/∂η^2)(1/ρ) ＝ －(1/ρ^3)＋(3η^2/ρ^5)，　　　(∂^2/∂ζ^2)(1/ρ) ＝ －(1/ρ^3)＋(3ζ^2/ρ^5)

は既に求めていました。

(∂^2/∂ξ^2)(ξ/ρ) ＝ (∂/∂ξ){(∂/∂ξ)(ξ/ρ)} ＝ (∂/∂ξ){(1/ρ) ＋ ξ(∂/∂ξ)(1/ρ)} ＝ 2(∂/∂ξ)(1/ρ) ＋ ξ(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ) ＝ －(2ξ/ρ^3)  － (ξ/ρ^3)＋(3ξ^3/ρ^5) ＝ －(3ξ/ρ^3) ＋ (3ξ^3/ρ^5)

(∂^2/∂ξ^2)(ξ/ρ^3) ＝ (∂/∂ξ){(∂/∂ξ)(ξ/ρ^3)} ＝ (∂/∂ξ){(1/ρ^3) ＋ ξ(∂/∂ξ)(1/ρ^3)} ＝ {2(∂/∂ξ)(1/ρ^3) ＋ ξ(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ^3)}

なのでさらに

(∂/∂ξ)(1/ρ^3) ＝ －(3/2)ρ^(-5)×2ξ ＝ －(3ξ/ρ^5)

を求めて

(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ^3) ＝ －(∂/∂ξ)(3ξ/ρ^5) ＝ －(3/ρ^5)－3ξ(∂/∂ξ)(1/ρ^5) ＝ －(3/ρ^5)－(15ξ^2/ρ^7)

を得ることが出来るので、

(∂/∂η)(1/ρ^3) ＝ －(3η/ρ^5)，　　　(∂^2/∂η^2)(1/ρ^5) ＝ －(3/ρ^5) － (15η^2/ρ^7)

(∂/∂ζ)(1/ρ^3) ＝ －(3ζ/ρ^5)，　　　(∂^2/∂ζ^2)(1/ρ^5) ＝ －(3/ρ^5) － (15ζ^2/ρ^7)

であることがわかりますのでこれらを用いると、

(∂D/∂ξ) ＝ A{(5/6)P^3(∂^2/∂ξ^2)(ξ/ρ) － (1/6)P^5(∂^2/∂ξ^2)(ξ/ρ^3)}

　　　　＋ B{(5/6)P^3(∂^2/∂η^2)(ξ/ρ) ＋ (1/6)P^5(∂^2/∂η^2)(ξ/ρ^3)}

　　　　＋ C{(5/6)P^3(∂^2/∂ζ^2)(ξ/ρ) ＋ (1/6)P^5(∂^2/∂ζ^2)(ξ/ρ^3)}

＝(5/6)P^3[A{－(3ξ/ρ^3) ＋(3ξ^3/ρ^5)} ＋ B{－(ξ/ρ^3)＋(3ξη^2/ρ^5)} ＋ C{－(ξ/ρ^3)＋(3ξζ^2/ρ^5)}]

＋ (1/6)P^5[A{－(9ξ/ρ^5)－(15ξ^3/ρ^7)} ＋ B{－(3ξ/ρ^5)－(15ξη^2/ρ^7)} ＋ C{－(3ξ/ρ^5)－(15ξζ^2/ρ^7)}]

＝ (5/6)P^3[－{(3Aξ＋Bξ＋Cξ)/ρ^3} ＋{(3Aξ^3＋3Bξη^2＋3ξζ^2)/ρ^5}]

＋ (1/6)P^5[－(9Aξ＋3Bξ＋3Cξ)/ρ^5}－{(15Aξ^3＋15bξη^2＋15Cξζ^2)/ρ^7}]

＝ (5/6)P^3[－(2Aξ/ρ^3) ＋{3ξ(Aξ^2＋3Bη^2＋3ζ^2)/ρ^5}]

＋ (1/6)P^5[－(6Aξ/ρ^5)－{15ξ(Aξ^2＋15Bη^2＋15Cζ^2)/ρ^7}]

＝ (5/6)P^3[－(2Aξ/ρ^3) ＋{3ξ(Aξ^2＋3Bη^2＋3ζ^2)/ρ^5}]

＋ (1/6)P^5[－(6Aξ/ρ^5)－{15ξ(Aξ^2＋15Bη^2＋15Cζ^2)/ρ^7}]

＝ －(5/3)P^3(Aξ/ρ^3)＋(5/2)P^3{ξ(Aξ^2＋3Bη^2＋3ζ^2)/ρ^5} － (AP^5ξ/ρ^5)－ (5/2)P^5ξ(Aξ^2＋15Bη^2＋15Cζ^2)/ρ^7}

となります。ここで連続の方程式

A＋B＋C＝0

を用いました。これで速度場の関数 u を求めることが出来ます。

u ＝ Aξ － (5/3)P^2A(ξ/ρ^3) － (∂D/∂ξ)

　＝ Aξ － (5/3)P^2A(ξ/ρ^3) ＋ (5/3)P^3(Aξ/ρ^3) － (5/2)P^3{ξ(Aξ^2 ＋ 3Bη^2 ＋ 3ζ^2)/ρ^5} 

　　　＋ (AP^5ξ/ρ^5) ＋ (5/2)P^5ξ(Aξ^2 ＋ 15Bη^2 ＋ 15Cζ^2)/ρ^7}

　＝ Aξ － (5P^3/2ρ^5)ξ(Aξ^2 ＋ 3Bη^2 ＋ 3ζ^2) ＋ (5P^5/2ρ^7)ξ(Aξ^2 ＋ 15Bη^2 ＋ 15Cζ^2) ＋ (P^5/ρ^5)Aξ

関数 u の露わな表式は

u ＝ Aξ － (5P^3/2ρ^5)ξ(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) ＋ (5P^5/2ρ^7)ξ(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) － (P^5/ρ^5)Aξ

となります。従って ρ＝P では

u ＝ Aξ － (5P^3/2P^5)ξ(Aξ^2 ＋ Bη^2＋Cζ^2) ＋ (5P^5/2P^7)ξ(Aξ^2 ＋ Bη^2 ＋ Cζ^2) － (P^5/P^5)Aξ ＝ 0

となって境界条件が満たされていることが分かります。アインシュタインは速度場 u, v, w の D への依存性が対称的なことから以上の計算結果と同様のことが、u, v についても言えて境界条件が満たされていることが分かると述べています。

　アインシュタインは、この後さらにこれらの解が連立方程式を満たし、境界条件を満たす唯一のものであることにも言及し、その証明の概略を述べています。ある有限領域内で連立方程式

(∂p/∂ξ) ＝ k△u，　　　(∂p/∂η) ＝ k△v，　　　(∂p/∂ζ) ＝ k△w

(∂u/∂ξ) ＋ (∂v/∂η) ＋ (∂w/∂ζ) ＝ 0

の解 u, v, w の他に別解 U, V, W が存在して考えている領域の境界で

u ＝ U，　　　v ＝ V，　　　w ＝ W

であるとします。連立方程式は線形化されたストークス近似で導かれたもので、線形方程式ですから

u － U，　　　v － V，　　　w － W

もまた同じ連立方程式の解であって、境界では速度成分が零となるような解です。ここで考えている有限領域内部の液体に着目します。領域の境界で液体は動かないので、領域内部に対していかなる力学的な仕事が為されていないことは明かです。そして運動エネルギーを無視しているので、有限領域の体積内では熱に転換される力学的な仕事も零です。このことから有限領域は静止している壁で囲まれていると考えれば、領域内の全空間で

u － U ＝ 0，　　　v － V ＝ 0，　　　w － W ＝ 0

が成り立たなくてはなりません。つまり連立方程式を満たす解はひとつしかないということです。アインシュタインは、この有限領域を無限領域にまで広げることで求められた解が唯一の解であることを示すことが出来ルと述べています。

　これで、アインシュタインが見出した連立方程式の解が境界条件を満たす唯一の解であることの説明までやっと読み進むことが出来ましたので、一段落としたいと思います。