標記論文の第1節

1. 液体中に浮かぶ微小な球が，液体に及ぼす影響

の続きを読みます。脚注によれば、アインシュタインは調和関数としての p を

(p/k)＝2c(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ)

と選んで

△V ＝ (1/k)p

を満たす関数 V を

V ＝ c(∂^2ρ/∂ξ^2) ＋ b{(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ)} ＋ (a/2){ξ^2 － (η^2/2) － (ζ^2/2)}

と見つけ出しています。ここで、a, b, c は定数です。実際、

(∂V/∂ξ) ＝ c(∂^3ρ/∂ξ^3) ＋ b{(∂^3/∂ξ^3)(1/ρ)} ＋ aξ

(∂V/∂η) ＝ c(∂^3ρ/∂η∂ξ^2) ＋ b{(∂^3/∂η∂ξ^2)(1/ρ)} － (aη/2)

(∂V/∂ζ) ＝ c(∂^3ρ/∂ζ∂ξ^2) ＋ b{(∂^3/∂ζ∂ξ^2)(1/ρ)} － (aζ/2)

をさらに微分して

(∂^2V/∂ξ^2)＝ c(∂^4ρ/∂ξ^4) ＋ b{(∂^4/∂ξ^4)(1/ρ)} ＋ a

(∂^2V/∂η^2)＝ c(∂^4ρ/∂η^2∂ξ^2) ＋ b{(∂^4/∂η^2∂ξ^2)(1/ρ)} － (a/2)

(∂^2V/∂ζ^2)＝ c(∂^4ρ/∂^2ζ∂ξ^2) ＋ b{(∂^4/∂ζ^2∂ξ^2)(1/ρ)} － (a/2)

であるので、

(∂^2V/∂ξ^2) ＋ (∂^2V/∂η^2) ＋ (∂^2V/∂ζ^2)

＝ c(∂^2/∂ξ^){(∂^2ρ/∂ξ^2) ＋ (∂^2ρ/∂η^2) ＋ (∂^2ρ/∂^2ζ)} ＋ b(∂^2/∂ξ^2){(∂^2/∂ξ^2) ＋ (∂^2/∂η^2) ＋ (∂^2/∂ξ^2)(1/ρ)}

となりますが、ここで前回の投稿で計算した結果から

(∂^2ρ/∂ξ^2)＝(1/ρ)－(1/2)ρ^(-3)ξ×2ξ＝(1/ρ)－(ξ^2/ρ^3)

(∂^2ρ/∂η^2)＝(1/ρ)－(1/2)ρ^(-3)η×2η＝(1/ρ)－(η^2/ρ^3)

(∂^2ρ/∂ζ^2)＝(1/ρ)－(1/2)ρ^(-3)ζ×2ζ＝(1/ρ)－(ζ^2/ρ^3)

より、

(∂^2ρ/∂ξ^2) ＋ (∂^2ρ/∂η^2) ＋ (∂^2ρ/∂^2ζ) ＝ (3/ρ) － {(ξ^2 ＋ η^2 ＋ ζ^2)/ρ^3} ＝ (2/ρ)

および

{(∂^2/∂ξ^2) ＋ (∂^2/∂η^2) ＋ (∂^2/∂ζ^2)}(1/ρ) ＝ 0

を用いると、

(∂^2V/∂ξ^2) ＋ (∂^2V/∂η^2) ＋ (∂^2V/∂ζ^2) ＝ c(∂^2/∂ξ^)(2/ρ) ＝ 2c(∂^2/∂ξ^)(1/ρ) ＝ (p/k)

となって V が条件を満たしていることが分かります。

　さらに

△u'＝0，　　　△v'＝0，　　　△w'＝0

および

(∂u'/∂ξ) ＋ (∂v'/∂η) ＋ (∂w'/∂ζ) ＝ －(1/k)p

を満たす u', v', w' を

u' ＝ －2c(∂/∂ξ)(1/ρ)，　　　v' ＝ 0，　　　w' ＝ 0

と置くと、ラプラスの方程式を満たすことは明かで、

(∂u'/∂ξ) ＋ (∂v'/∂η) ＋ (∂w'/∂ζ) ＝ －2c(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ)＝－(p/k)

となって条件を満たしていることが分かります。従って

(p/k) ＝ 2c(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ)

u ＝ (∂V/∂ξ) －2c(∂/∂ξ)(1/ρ)

v ＝ (∂V/∂η)

w ＝ (∂V/∂ζ)

が連立方程式を満たすことが分かりました。ただし、

V ＝ c(∂^2ρ/∂ξ^2) ＋ b{(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ)} ＋ (a/2){ξ^2 － (η^2/2) － (ζ^2/2)}

です。アインシュタインはまた定数 a, b, c は u, v, w の境界条件

ρ ＝ P のとき u ＝ v ＝ w ＝ 0

から決めることが出来ると述べています。そしていきなり

そのような三つの解を重ね合わせることによって

連立方程式の解が求まると述べています。ここではかなりの推論の省略があるようです。解こうとしている連立方程式は線形方程式なので、重ね合わせるとすれば、当然、いくつかの p, u, v, w をそれぞれ重ね合わせるということのはずですが、ここではそれらが明確には述べられていません。従って解を見つけ出すまでを想像するしかないありません。

　そこでラプラス･ポアソンの方程式の性質を考えてみます。p_1, p_2, p_3 が調和関数

△p_1 ＝ 0，　　　△p_2 ＝ 0，　　　△p_3 ＝ 0

であるとき、線形方程式の性質によってこれらの関数の線形結合 αp_1 ＋ βp_2 ＋ γp_3 もまた調和関数です。さらにそれぞれの調和関数 p_1, p_2, p_3 に応じてラプラス･ポアソンの方程式

△V_1 ＝ (1/k)p_1，　　　△V_2 ＝ (1/k)p_2，　　　△V_3 ＝ (1/k)p_3

を満たすように、関数 V_1, V_2, V_3 が見出せたとすると、線形方程式の性質によって

△(αp_1 ＋ βp_2 ＋ γp_3) ＝ 0，　　　△(αV_1 ＋ βV_2 ＋ γV_3) ＝ (1/k)(αp_1 ＋ βp_2 ＋ γp_3)

であることは明らかです。アインシュタインは既に見出している

(p_1/k) ＝ 2c(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ)，　　　V_1 ＝ c(∂^2ρ/∂ξ^2) ＋ b{(∂^2/∂ξ^2)(1/ρ)} ＋ (a/2){ξ^2 － (η^2/2) － (ζ^2/2)}

の場合、速度場の関数 u_1, v_1, w_1 は

u_1 ＝ (∂V_1/∂ξ) －2c(∂/∂ξ)(1/ρ)

v_1 ＝ (∂V_1/∂η)

w_1 ＝ (∂V_1/∂ζ)

で表すことが出来ていました。従ってこれら以外に後二組連立方程式を満たす関数を見つけて、線形方程式の性質に従い、それらを重ね合わせたものと思われます。そしてそれらはおそらく、ラプラスの微分演算子

△ ＝ (∂/∂ξ)^2 ＋ (∂/∂η)^2 ＋ (∂/∂ζ)^2

の形から ξ と η を入れ替えた

(p_2/k) ＝ 2c(∂^2/∂η^2)(1/ρ)，　　　V_2 ＝ c(∂^2ρ/∂η^2) ＋ b{(∂^2/∂η^2)(1/ρ)} ＋ (a/2){－(ξ^2/2) ＋ η^2 － (ζ^2/2)}

u_2 ＝ (∂V_2/∂ξ)

v_2 ＝ (∂V_2/∂η) －2c(∂/∂η)(1/ρ)

w_2 ＝ (∂V_2/∂ζ)

および ξ と ζ を入れ替えた

(p_3/k) ＝ 2c(∂^2/∂ζ^2)(1/ρ)，　　　V_3 ＝ c(∂^2ρ/∂ζ^2) ＋ b{(∂^2/∂ζ^2)(1/ρ)} ＋ (a/2){－(ξ^2/2) － (η^2/2) ＋ ζ^2}

u_3 ＝ (∂V_3/∂ξ)

v_3 ＝ (∂V_3/∂η)

w_3 ＝ (∂V_3/∂ζ) －2c(∂/∂ζ)(1/ρ)

であると予想されます。

さて、ここから三つの関数を重ね合わせて連立方程式の解を見つけ出した過程は素人には想像が難しいので、推論はここで止めて次回の投稿からはアインシュタインが見つけ出した解について考察したいと思います。