標記論文の B 電気力学の部

9 マックスウェル-ヘルツ方程式の変換．対流電流を考慮した場合

という節の続きを読みます。

　静止系 K 系における電荷密度と電流密度がある場合ののマックスウェル-ヘルツの方程式

(1/V){u_xρ ＋ (∂X/∂t)} ＝ (∂N/∂y) － (∂M/∂z)，　　(1/V)(∂L/∂t) ＝ (∂Y/∂z) － (∂Z/∂y)

(1/V){u_yρ ＋ (∂Y/∂t)} ＝ (∂L/∂z) － (∂N/∂x)，　　(1/V)(∂M/∂t) ＝ (∂Z/∂x) － (∂X/∂z)

(1/V){u_zρ ＋ (∂Z/∂t)} ＝ (∂M/∂x) － (∂L/∂y)，　　(1/V)(∂N/∂t) ＝ (∂Y/∂y) － (∂Z/∂x)

は運動系 k 系では

(1/V)[β(ux － v)ρ ＋ (∂X/∂τ)] ＝ (∂/∂η)β{N － (v/V)Y} － (∂/∂ζ)β{M ＋ (v/V)Z}

(1/V)[uyρ ＋ (∂/∂τ)β{Y － (v/V)N}] ＝ (∂L/∂ζ) － (∂/∂ξ)β{N － (v/V)Y}

(1/V)[uzρ ＋ (∂/∂τ)β{Z ＋ (v/V)M}] ＝ (∂/∂ξ)β{M ＋ (v/V)Z} － (∂L/∂η)

および

(1/V)(∂L/∂τ) ＝ (∂/∂ζ)β{Y － (v/V)N} － (∂/∂η)β{Z － (v/V)M}

(1/V)(∂/∂τ)β{M ＋ (v/V)Z}^2 ＝ (∂/∂ξ)β{Z ＋ (v/V)M} － (∂X/∂ζ)

(1/V)(∂/∂τ)β{N － (v/V)Y} ＝ (∂X/∂η) － (∂/∂ξ)β{Y － (v/V)N}

と変数変換されることがわかりました。ここでは第6節同様、静止系 K 系から運動系 k 系へと座標変換されるのにともない、静止系 K 系での電場 (X，Y，Z) と磁場 (L，M，N) が、運動系 k 系での電場 (X'，Y'，Z') と磁場 (L'，M'，N') に

X' ＝ X，　　Y' ＝ β{Y － (v/V)N}，　　Z' ＝ β{Z ＋ (v/V)M}

および

L' ＝ L，　　M' ＝ β{M ＋ (v/V)Z}，　　N' ＝ β{N － (v/V)Y}

のように変換されるとして、運動系 k 系でのガウスの法則について考えます。つまり運動系 k 系で、電場と磁場の発散

(∂X'/∂ξ) ＋ (∂Y'/∂η) ＋ (∂Z'/∂ζ)，　　(∂L'/∂ξ) ＋ (∂M'/∂η) ＋ (∂N'/∂ζ)

を計算することにします。計算方法は、運動系 k 系での電場 (X'，Y'，Z') と磁場 (L'，M'，N') を静止系 K 系での電場 (X，Y，Z) と磁場 (L，M，N) で表し、運動系 k 系から静止系 K 系への変数変換によって運動系 k 系の量 (ξ，η，ζ，τ) に関する微分を静止系 K 系の量 (x，y，z，t) に関する微分に置き換えるというものです。変数変換

x ＝ β(ξ ＋ vτ)

y ＝ η

z ＝ ζ

t ＝ β{τ ＋ (v/V^2)ξ}

から合成関数の微分法に従えば、微分演算は、

∂/∂ξ ＝ (∂x/∂ξ)(∂/∂x) ＋ (∂t/∂ξ)(∂/∂t) ＝ β(∂/∂x) ＋ (vβ/V^2)(∂/∂t)

∂/∂η ＝ ∂/∂y

∂/∂ζ ＝ ∂/∂z

∂/∂τ ＝ (∂x/∂τ)(∂/∂x) ＋ (∂t/∂τ)(∂/∂t) ＝ vβ(∂/∂ξ) ＋ β(∂/∂τ)

と変換されます。

まず電場について計算します。

(∂X'/∂ξ) ＋ (∂Y'/∂η) ＋ (∂Z'/∂ζ)

＝ (∂X/∂ξ) ＋ (∂/∂η)[β{Y － (v/V)N}] ＋ (∂/∂ζ)[β{Z ＋ (v/V)M}]

＝ β(∂X/∂x) ＋ (vβ/V^2)(∂X/∂t) ＋ β(∂Y/∂y) － β(v/V)(∂N/∂y) ＋ β(∂Z/∂z) ＋ β(v/V)(∂M/∂z)

＝ β{(∂X/∂x) ＋ (∂Y/∂y) ＋ (∂Z/∂z)} ＋ β(v/V){(1/V)(∂X/∂t) － (∂N/∂y) ＋ (∂M/∂z)}

となりますから、静止系 K 系での電場に関するガウスの法則

ρ ＝ (∂X/∂x) ＋ (∂Y/∂y) ＋ (∂Z/∂z)

とマックスウェル-ヘルツの方程式のひとつ

(1/V){uxρ ＋ (∂X/∂t)} ＝ (∂N/∂y) － (∂M/∂z)

を用いて書き換えます。t に関する微分は

(1/V)(∂X/∂t) ＝ (∂N/∂y) － (∂M/∂z) － (1/V)uxρ

ですから

(∂X'/∂ξ) ＋ (∂Y'/∂η) ＋ (∂Z'/∂ζ)

＝ βρ ＋ β(v/V){(∂N/∂y) － (∂M/∂z) － (1/V)uxρ － (∂N/∂y) ＋ (∂M/∂z)}

＝ β{1－(vux/V^2)}ρ

となり、

ρ' ＝ β{1－(vux/V^2)}ρ

とおくと運動系 k 系でも電場 (X'，Y'，Z') に関するガウスの法則として

ρ' ＝ (∂X'/∂ξ) ＋ (∂Y'/∂η) ＋ (∂Z'/∂ζ)

を得ることができます。

　一方、磁場についての計算は、

(∂L'/∂ξ) ＋ (∂M'/∂η) ＋ (∂N'/∂ζ)

＝ (∂L/∂ξ) ＋ (∂/∂η)[β{M ＋ (v/V)Z}] ＋ (∂/∂ζ)[β{N － (v/V)Y}]

＝ β(∂L/∂x) ＋ (vβ/V^2)(∂L/∂t) ＋ β(∂M/∂y) ＋ β(v/V)(∂Z/∂y) ＋ β(∂N/∂z) － β(v/V)(∂Y/∂z)

＝ β{(∂L/∂x) ＋ (∂M/∂η) ＋ (∂N/∂ζ)} ＋ (vβ/V){(1/V)(∂L/∂t) ＋ (∂Z/∂y) － (∂Y/∂z)}

となりますが、静止系 K 系での磁場に関するガウスの法則

(∂L/∂x) ＋ (∂M/∂y) ＋ (∂N/∂z) ＝ 0

とマックスウェル-ヘルツの方程式

(1/V)(∂L/∂t) ＝ (∂Y/∂z) － (∂Z/∂y)

を用いて書き換えます。t に関する微分は

(1/V)(∂L/∂t) － (∂Y/∂z) ＋ (∂Z/∂y) ＝ 0

ですから

(∂L'/∂ξ) ＋ (∂M'/∂η) ＋ (∂N'/∂ζ) ＝ 0

となり、運動系 k 系でも磁場 (L'，M'，N') に関するガウスの法則を得ます。また、

ρ' ＝ β{1－(vux/V^2)}ρ

によってマックスウェル-ヘルツの方程式をさらに書き換えると、

(1/V)[β(ux － v)ρ ＋ (∂X'/∂τ)] ＝ (∂N'/∂η) － (∂M'/∂ζ)

(1/V)[(ux － v)ρ'/{1－(vux/V^2)} ＋ (∂X'/∂τ)] ＝ (∂N'/∂η) － (∂M'/∂ζ)

となり、

(1/V){uyρ ＋ (∂Y'/∂τ)} ＝ (∂L'/∂ζ) － (∂N'/∂ξ)

(1/V){uyρ'/β{1－(vux/V^2)} ＋ (∂Y'/∂τ)} ＝ (∂L'/∂ζ) － (∂N'/∂ξ)

となり、

(1/V){uzρ ＋ (∂Z'/∂τ)} ＝ (∂M'/∂ξ) － (∂L'/∂η)

(1/V){uzρ'/β{1－(vux/V^2) ＋ (∂Z'/∂τ)} ＝ (∂M'/∂ξ) － (∂L'/∂η)

となります。

　ところで

(ux － v)/{1－(vux/V^2)}，　　uy/β{1－(vux/V^2)}，　　uz/β{1－(vux/V^2)

は、静止系 K 系の速度 (ux，uy，uz) を静止系 K 系の X 軸の正の方向に速度 v で等速移動する運動系 k 系から見た速度であることを示すことができます。第5節において、アインシュタインは新しい速度の加法定理を示しました。そこで用いられた方法を応用して計算を進めることにします。

　今、静止系 K 系 (x，y，z，t) の原点から等速度 (ux，uy，uz) で運動する電子を考えます。その電子の軌道は静止系 K 系の時刻 t における座標値、

x ＝ uxt，　　y ＝ uyt，　　z ＝ uzt

を占めることになります。そこで運動系 k 系に対するこの電子の運動を求めてみます。これを静止系 K 系から運動系 k 系へ変換してみます。変数変換は第3節で導出した運動系 k 系 (ξ，η，ζ，τ) への変換の逆変換

x ＝ β(ξ ＋ vτ)

y ＝ η

z ＝ ζ

t ＝ β{τ ＋ (v/V^2)ξ}

を用いると

β(ξ ＋ vτ) ＝ uxβ{τ ＋ (v/V^2)ξ}

ξ ＋ vτ ＝ uxτ ＋ (vux/V^2)ξ

(1 － vux/V^2)ξ ＝ (ux － v)τ

となり、

ξ ＝ {(ux － v)/(1 － vux/V^2)}τ

を得ます。また、

η ＝ uyβ{τ ＋ (v/V^2)ξ} ＝ uyβ{1 ＋ (v/V^2)(ux － v)/(1 － vux/V^2)}τ

＝ uyβ[{(1 － vux/V^2) ＋ (v/V^2)(ux － v)}/(1 － vux/V^2)]τ

＝ uyβ[{1 － (v/V)^2}/(1 － vux/V^2)]τ

＝ [uy/β(1 － vux/V^2)]τ

そして同様に

ζ ＝ uzβ{τ ＋ (v/V^2)ξ} ＝ uzβ{1 ＋ (v/V^2)(ux － v)/(1 － vux/V^2)}τ

＝ uzβ[{(1 － vux/V^2) ＋ (v/V^2)(ux － v)}/(1 － vux/V^2)]τ

＝ uzβ[{1 － (v/V)^2}/(1 － vux/V^2)]τ

＝ [uz/β(1 － vux/V^2)]τ

を得ます。

　以上の計算をまとめると運動系 k 系での電子の速度 (uξ，uη，uζ) は

uξ ＝ (ux － v)/(1 － vux/V^2)，

uη ＝ uy/β(1 － vux/V^2)，

uζ ＝ uz/β(1 － vux/V^2)

となります。従って、静止系 K 系における電荷密度と電流密度がある場合ののマックスウェル-ヘルツの方程式

(1/V){uxρ ＋ (∂X/∂t)} ＝ (∂N/∂y) － (∂M/∂z)，　　(1/V)(∂L/∂t) ＝ (∂Y/∂z) － (∂Z/∂y)

(1/V){uyρ ＋ (∂Y/∂t)} ＝ (∂L/∂z) － (∂N/∂x)，　　(1/V)(∂M/∂t) ＝ (∂Z/∂x) － (∂X/∂z)

(1/V){uzρ ＋ (∂Z/∂t)} ＝ (∂M/∂x) － (∂L/∂y)，　　(1/V)(∂N/∂t) ＝ (∂Y/∂y) － (∂Z/∂x)

(∂X/∂x) ＋ (∂Y/∂y) ＋ (∂Z/∂z) ＝ ρ，　　(∂L/∂x) ＋ (∂M/∂y) ＋ (∂N/∂z) ＝ 0

は運動系 k 系では

(1/V){uξρ' ＋ (∂X'/∂τ)} ＝ (∂N'/∂η) － (∂M'/∂ζ)，　　(1/V)(∂L'/∂τ) ＝ (∂Y'/∂ζ) － (∂Z'/∂η)

(1/V){uηρ' ＋ (∂Y'/∂τ)} ＝ (∂L'/∂ζ) － (∂N'/∂ξ)，　　(1/V)(∂M'/∂τ) ＝ (∂Z'/∂ξ) － (∂X'/∂ζ)

(1/V){uζρ ＋ (∂Z'/∂τ)} ＝ (∂M'/∂ξ) － (∂L'/∂η)，　　(1/V)(∂N'/∂τ) ＝ (∂X'/∂η) － (∂Y'/∂ζ)

(∂X'/∂ξ) ＋ (∂Y'/∂η) ＋ (∂Z'/∂ζ) ＝ ρ'，　　(∂'L/∂ξ) ＋ (∂M'/∂η) ＋ (∂N'/∂ζ) ＝ 0

となります。ただし、ここで静止系 K 系での電場 (X，Y，Z) と磁場 (L，M，N) は、運動系 k 系での電場 (X'，Y'，Z') と磁場 (L'，M'，N') に

X' ＝ X，　　Y' ＝ β{Y － (v/V)N}，　　Z' ＝ β{Z ＋ (v/V)M}

および

L' ＝ L，　　M' ＝ β{M ＋ (v/V)Z}，　　N' ＝ β{N － (v/V)Y}

のように変換され、静止系 K 系での電子の速度 (ux，uy，uz) は運動系 k 系での電子の速度 (uξ，uη，uζ) に

uξ ＝ (ux － v)/(1 － vux/V^2)，

uη ＝ uy/β(1 － vux/V^2)，

uζ ＝ uz/β(1 － vux/V^2)

と変換され、静止系 K 系での電子の電荷密度 ρ は運動系 k 系での電荷密度  ρ' に

ρ' ＝ β{1－(vux/V^2)}ρ

と変換されるとしました。

　このようにしてにして、運動物体に対する電気力学のローレンツの理論はそれを記述する座標系によらないことが示されました。アインシュタインは、

ローレンツの理論は，相対性原理と合致することが，われわれの運動学の基本法則にもとづいて示された．

と主張しています。

　これで第9節を読み終えましたが、ローレンツの電子論としてはまだ片手落ちの感が否めません。第9節で検証された理論はいわば電荷密度と電流密度を源としてどのような電磁場が形成されるのかの法則だからです。なので、電荷密度と電流密度を形成する荷電粒子が受ける電磁場からの力についての法則についても言及しなければなりません。アインシュタインはそのことについて第10節で言及していますので、次回からその節を読んでいくことにします。