『ブラウン運動』に関する論文の読後報告途中でこのブログを放置しても良いだろうと甘いことを考えていましたが、何故か投稿を続けてしまいました。閲覧してくださる方々がいらっしゃることで調子に乗ってしまったのだと思います。ここまでアインシュタインの『特殊相対性理論』と『光量子仮説』と『ブラウン運動』に関する4本の論文を読んできました。

アインシュタイン論文選「奇跡の年」の５論文
アルベルト・アインシュタイン　著
ジョン・スタチェル　編
青木薫　訳　筑摩書房（ちくま学芸文庫）　2011年

には5本の論文が訳出されています。こうなってしまうと残された1本の論文を読まざるを得なくなったように思います。逆にプレッシャーを感じています。

　順不同ですが、5本目の論文はチューリッヒ大学に提出された標記博士論文です。序文を読みます。アインシュタインは、分子の実際の大きさはまず気体分子運動論で求められるようになったと述べて、しかしながら液体中の現象を利用して分子の大きさが調べられたことはないことを指摘しています。それには理由があって、精度の高い液体の分子運動論を作るには克服しなければならない障害があると述べています。そして、

この論文は，溶質分子の体積が溶媒分子の体積より大きいものとして，解離せずに希薄溶液中に溶けている物質分子の大きさを，溶液の内部粘性と，純粋に溶媒だけの場合の内部粘性，そして溶媒中での溶質の拡散係数から求められることを示す．

とこの論文の目的を掲げています。

　さらにアインシュタインはこのようなことができる理由として、今の場合溶質分子は、溶媒中の分子の移動度と分子が溶媒の粘性に及ぼす影響に関して、溶媒中に浮かぶ固体とほぼ同じに振る舞うからだと述べています。この指摘についてはよく分かりませんが、このことから分子のまわりで液体は均質であり、溶媒の分子構造を考慮しなくてもよいとして、溶媒の運動に流体力学の方程式を用いることが出来ると述べていますので、溶媒の運動を流体力学で取り扱うための仮説であると見做して先に読み進むことにします。なお、以下では溶質分子の形状を球形であるとして議論が為されています。

　では、

1. 液体中に浮かぶ微小な球が，液体に及ぼす影響

の節を読みます。ここでは粘性係数 k をもつ均質な非圧縮性の液体を取り上げます。そしてこの液体の速度場が空間座標 x，y，z と時間座標 t の関数として与えられているものとします。ここで速度場の関数 u(x, y, z, t)，v(x, y, z, t)，w(x, y, z, t) を、空間の任意の1点 (x_0，y_0，z_0) のテーラー展開した x－x_0，y－y_0，z－z_0 の関数と考えます。また点 (x_0，y_0，z_0) のまわりにきわめて小さい領域 G を考え、その内部ではテーラー展開の1次の項のみを考えれば良いとします。アインシュタインはこうすることで、このとき G の内部での液体の運動は

1. 液体のあらゆる微小部分が相対位置を変えずに行う平行運動．
2. 微小部分の相対位置を変えずに行われる，液体の回転運動．
3. 互いに直交する三つの方向（膨張の主軸）に沿った膨張運動．

の重ね合わせと見做すことが出来ると述べています。これは速度場を使った流体の運動解析のことだと考えられます。実際に速度場の関数を任意の1点 (x_0，y_0，z_0) の回りにテーラー展開すると、

u(x, y, z, t) ＝ u_0 ＋ (∂u/∂x)_0(x － x_0) ＋ (∂u/∂y)_0(y － y_0) ＋ (∂u/∂z)_0(z － z_0)

v(x, y, z, t) ＝ v_0 ＋ (∂v/∂x)_0(x － x_0) ＋ (∂v/∂y)_0(y － y_0) ＋ (∂v/∂z)_0(z － z_0)

w(x, y, z, t) ＝ w_0 ＋ (∂w/∂x)_0(x － x_0) ＋ (∂w/∂y)_0(y － y_0) ＋ (∂w/∂z)_0(z － z_0)

となります。(u_0, v_0, w_0) は (x_0，y_0，z_0) 付近での並進運動を表していて、上の1.に相当するものです。また速度場3成分の各偏微分係数

(∂u/∂x)_0　　　(∂u/∂y)_0　　　(∂u/∂z)_0

(∂v/∂x)_0　　　(∂v/∂y)_0　　　(∂v/∂z)_0

(∂w/∂x)_0　　　(∂w/∂y)_0　　　(∂w/∂z)_0

で作られる二階のテンソルとベクトル (x － x_0, y － y_0, z － z_0) の縮約で表される運動の部分は、対称部分と反対称部分に分けられます。対称部分は直交変換で対角化すれば分かるように、変位に比例して速度が変化することから膨張収縮運動を表すと考えられ、変位速度テンソルと呼ばれます。これは上の3.に相当する運動を表現するものです。また、反対称部分は軸性ベクトル

{(∂w/∂y)_0 － (∂v/∂z)_0, (∂u/∂z)_0 － (∂w/∂x)_0, (∂v/∂x)_0 － (∂u/∂y)_0}

の渦度に関係する回転運動を表すと考えられ、回転速度テンソル呼ばれます。これは上の2.に相当する運動を表現するものです。

　さて、アインシュタインはここで領域 G の内部にひとつ剛体球を考えました。この球の大きさは領域 G にくらべて非常に小さく、球の中心は点 (x_0，y_0，z_0) に位置しているとしました。加えて液体の運動がきわめてゆるやかであるために流体の運動エネルギーも剛体球の運動エネルギーも無視できると仮定し、球表面の面積要素の速度成分は隣接している液体の微小部分の速度成分と同じであるとの仮定も置きました。これは連続的であると考えられる境界層もまた有限の粘性係数を持つと考えることになります。つまり液体は粘性のために剛体球の表面に付着していると考えるわけです。

　剛体球表面の面積要素は隣接する液体の微小部分と同じ速度で運動していると仮定したので、1.と2.の運動では剛体球はその回りにある液体の運動を変化させることなく、液体と一緒に運動していることになります。1.と2.の運動では、液体の微小部分がその相対位置を変えずに運動するので、液体は剛体のように動くことになります。これは慣性の影響を無視したからだとアインシュタインは述べていますが、液体の流れがきわめてゆるやかであるとして流体の慣性に比べて粘性が及ぼす影響の方が大きいと考えた結果です。

　そこで3.の運動について剛体球の存在がこの液体の運動に及ぼす影響を調べます。二階のテンソルの対称部分とベクトルの縮約で表される運動ですから、行列表示を考えると対称行列を直交行列で対角化する主軸変換を用いて膨張の主軸に平行な座標系に座標変換でこの運動を調べます。

x － x_0 ＝ ξ，　　　y － y_0 ＝ η，　　　z － z_0 ＝ ζ

と置くと、もし球が存在しなければ、3.の運動についての速度場 (u_0, v_0, w_0) は

u_0 ＝ Aξ，　　　v_0 ＝ Bη，　　　w_0 ＝ Cζ

と表すことが出来ます。着目している液体は非圧縮性の液体であるとすると、
着目している液体は非圧縮性の液体であるとすると、

(∂u_0/∂x) ＋ (∂v_0/∂y) ＋ (∂w_0/∂z) ＝ 0

ですから、A, B, C を定数とすると

A ＋ B ＋ C ＝ 0

という条件を満たしていなければなりません。

　点 (x_0, y_0, z_0) に半径 P の剛体球を置くと、そのまわりの液体の運動が変化します。ここでアインシュタインは非常に都合のいい仮定

便宜上，P は“有限”とみなすが、球のために生じた液体の運動の変化がもはやもはや感知できないほど小さくなるような ξ, η, ζ の値はすべて，“無限に大きい”ものとする．

を置いています。

　考察している液体の対称性から、その運動が起こっている間は、球は並進運動も回転運動も出来ないのは明かなので、これを速度場の境界条件

ρ ＝ P のとき、u ＝ v ＝ w ＝ 0

とします。ここで、

ρ ＝ √(ξ^2 ＋ η^2 ＋ ζ^2) ＞ 0

です。ここで速度場を

u ＝ Aξ ＋ u_1，　　　v ＝ Bη ＋ v_1，　　　w ＝ Cζ ＋ w_1

と置きます。球のために生じた液体の運動は ξ, η, ζ が無限に大きいところでは感知できなくなるはずなので、ρ の無限遠方で、速度場 u_1, v_1 ,w_1 は零にならなければなりません。

　さてアインシュタインはこの後今の場合の流体力学の方程式を立てるのですが、ここで一段落とし、次回の投稿にしたいと思います。