長らくさぼっていました。正直に言えば分からないことが多すぎます。1行読んだだけで頭を抱えてしまいます。アインシュタインは世紀の天才なので、常人ではないのは分かりますが、こうなると私が常人にも劣るという正当な評価さえにも悔しい思いをします。

　さて、第1節

『1. “黒体放射”の困難について』

に戻ります。1905年の論文で、アインシュタインは、まずマックスウェル理論と電子論の立場に立って、全反射する壁に取り囲まれた空間の中に自由に運動する気体分子が数多く含まれている系を考察しました。この系での気体分子や電子は接近すると互いに保存力を及ぼし合い、それらは衝突するとき気体分子運動論に従う分子のように振る舞うものとしました。加えて、多数の電子が互いに遠く隔たった空間内の点に束縛されていて、電子は束縛されている点に向かい、大きさがその点との距離に比例する、つまりフックの法則に従う束縛力を受けているものとしました。空間内の点に束縛されている電子は、自由な分子や電子が接近すると保存力でそれらと相互作用を行います。この束縛電子のことを“共鳴子”と呼びます。この共鳴子はある決まった振動数の電磁波を吸収したり放出したりします。これはキルヒホッフ-ブンゼンの法則に従う原子と電磁場の相互作用模型であると考えられます。光の発生に関して、この観点での見方は、マックスウェル理論にもとづく力学的平衡の場合と同じで“黒体放射”と同じでなければなりません。少なくとも考慮すべきすべての振動数の電磁波が空間内に存在すると仮定すれば、そうでなければなりません。

　アインシュタインは、当面、共鳴子が放出したり吸収したりする電磁波は考慮せずに、気体分子と電子が衝突する相互作用による力学的平衡の条件を調べています。そして気体分子運動論によれば、この力学的平衡が成り立つためには、

共鳴子である1個の電子の平均運動エネルギーが，気体分子の1個の併進運動の平均運動エネルギーと等しくなければならない．

と述べています。自由な単原子気体分子は自由度が3なので、エネルギー等分配則によって平均運動エネルギーが (3/2)kBT で与えられます。ここで、kB は気体定数をアボガドロ数で除したもので、ボルツマン定数です。

　共鳴子である電子はフックの法則に従う力を受けて運動していますので、力学的には等方調和振動子であると考えられます。そこで互いに直交する三つの向きの振動運動に分解してひとつの線形振動運動について考えます。調和振動子の特徴として運動エネルギーと位置エネルギーの平均が等しいという性質があります。調和振動子の力学系のハミルトン関数を

H ＝ (1/2)m(dx/dt)^2 ＋ (1/2)mω^2x^2

として振動の運動方程式の解を

x(t) ＝ A sin (ωt ＋ φ)

とし、運動エネルギー

T ＝ (1/2)m(dx/dt)^2

と位置エネルギー

V ＝ (1/2)mω^2x^2

の時間平均を計算します。t に関して領域 0 ≦ t ≦ 2π/ω で積分してそれぞれ平均を計算します。

dx/dt ＝ Aω cos (ωt ＋ φ)

ですから

∫dtT ＝ (A^2mω^2/2)∫dt cos^2 (ωt ＋ φ) ＝ (A^2mω^2/2)∫dt{1 ＋ cos 2(ωt ＋ φ)}/2

∫dtV ＝ (A^2mω^2/2)∫dt sin^2 (ωt ＋ φ) ＝ (A^2mω^2/2)∫dt{1 － cos 2(ωt ＋ φ)}/2

となり、1周期に渡る定積分値が一致しますので、運動エネルギーと位置エネルギーの時間平均は等しいことが示されます。従って調和振動子の力学的エネルギーの平均は調和振動子の運動エネルギーの2倍であることが分かります。自由な分子とフックの法則による束縛を受けている電子の力学平衡では運動エネルギーの平均が等しくなければなりませんから、一方向の調和振動子の力学的エネルギーの平均は自由な分子の運動エネルギーの平均の2/3倍であることが分かります。従って共鳴子である電子の運動を、互いに直交する三つの向きの振動運動に分解するとそのうちひとつの線形振動運動の平均エネルギーは、エネルギー等分配則によって

E＝(R/N)T

となります。ここで R は気体定数、N はアボガドロ数ですから、(R/N)はボルツマン定数です。

　アインシュタインはこの議論を共鳴子と空間に存在する放射との相互作用に当てはめました。そしてプランクの輻射論に言及しています。気体分子を光子気体に置き換えたものと考えられます。ここでアインシュタインはプランクの議論では力学的平衡の条件が、

放射は考えられるかぎりもっとも無秩序な過程として扱うことができる

という仮定をもとに導かれたことを指摘しています。脚注にはこの仮定に関して青木薫氏の解説がありましたが、理解できませんでしたので、これはこれとして先に進むことにします。ともかくもプランクの得た結果は

E_ν ＝ （L^3/8πν^2)ρ_ν

でした。ここでE_νは固有振動数νの共鳴子の平均エネルギー、Lは光の速度、ρ_νdνは振動数がνの放射の単位体積当たりのエネルギーです。
アインシュタインはこの結果に上で考察した気体分子運動論のでの共鳴子を当てはめました。そのために電磁波のひとつのモードを放射する物質を共鳴子と見做し、3次元等方調和振動子の一方向の調和振動の平均エネルギー

E ＝ (R/N)T

を振動数νの放射の平均エネルギー

E_ν ＝ (L^3/8πν^2)ρ_ν

と等置します。すると

ρ_ν ＝ (R/N)(8πν^2/L^3)T

が導かれます。このことは気体分子運動論の力学的平衡の条件から振動数がνの放射の単位体積当たりのエネルギー、つまり振動数νの放射のエネルギー密度が導かれたことになります。これは実験結果とは一致しません。しかしアインシュタインはこれだけではなく、

われわれのモデルでは、エーテルと物質にエネルギーが等分配される可能性はないと言うことを意味している．

とエーテルについても言及をしています。エネルギー密度ρ_νは振動数νに依存するので、モードごとに異なるエネルギーが分配されることになり、エネルギー等分配則は成り立たないからです。また着目する共鳴子の振動数領域を広くとれば広くとるほど、全放射エネルギーは大きくなり、極限として全ての振動数領域をとれば

∫_0^∞ ρ_ν dν ＝ (R/N)(8π/L^3)T∫_0^∞ ν^2 dν ＝ ∞

となって発散してしまうことが分かります。

　疑問は多々ありますし、決して理解できているわけではないのですが、これで第1節を読んだことにしておきます。