なんとか第１節を読み終えました。アインシュタインの文章は一つ一つの事柄を丁寧に積み上げていく論証になっていました。そう感じると同時に行間をきちんと読んでいかないと、思考過程を正しく追うことが出来ないのではないかと肝に銘じました。教科書を読むのと生の論文を読むのとでは、追うべき行間の深さのようなものが違っているようです。

　次は第２節です。標記論文の A 運動学の部の

2 長さと時間の相対性

という節を読みます。アインシュタインは先ず、これからの考察は『相対性原理』と『光速度一定の原理』に立脚していると宣言し、二つの原理を、次のように定義しています。

　まず『相対性原理』ですが

1.　二つの座標系が，一定の速度で互いに平行移動しているとき，物理系の状態変化を支配する法則は，その変化がどちらの座標系で記述されているかによらず，同一である．

と規定しました。ここでいう『座標系』という言葉は、第1節で強調されているようにニュートンの力学方程式が成り立つ座標系です。即ち、ここでいう座標系とは、慣性の法則、運動の法則、作用反作用の法則が成り立つ『慣性座標系』を指しています。

　次に『光速度一定の原理』ですが

2.　あらゆる光線は，その光線を放出した物体が静止しているか運動しているかによらず，“静止”座標系ではつねに同じ速さ V で進む。したがって，『光の速度＝光が進んだ距離/時間間隔』であり、“時間間隔”は，第１節で定義した意味とする．

と規定しました。相対性原理からすれば、光源の静止または運動は当然慣性座標系で判断されるべきなので、慣性座標系に対して光の伝搬速度は常に V であるという主張です。

　そしてこの二つの仮説に基づいて運動している棒の長さについて考察をしています。静止している剛体の棒を考えました。同じく静止している物差しを使って棒の長さを測定した結果、l という測定値が得られたとします。次にその棒が『静止系』の X 軸に沿っておかれ、さらに座標軸の正の方向に一定の速度 v で平行移動しているとします。この状態で運動している棒の長さを考えます。静止している剛体の棒を考えました。同じく静止している物差しを使って棒の長さを測定した結果、l という測定値が得られたとします。次にその棒が『静止系』の X 軸に沿っておかれ、さらに座標軸の正の方向に一定の速度 v で平行移動しているとします。この状態で運動している棒の長さを測定するのに、2つの操作を提案しています。

操作 a：物差しを持った観測者が棒と共に速度 v で運動し、棒と物差しと観測者が互いに静止しているような状態を作り出して、物差しで計測する。

操作 b：静止系の各座標点に同期した時計を用意し、ある時刻に測定対象の剛体の棒の先端と末端が通過した静止系の場所に印を付けて、その2点間の距離を物差しで計測する。ただし、物差しは静止系に静止しているとする。

操作 a での測定結果を“運動系での棒の長さ”と呼んでいます。『特殊相対性原理』に従えば、“運動系の棒の長さ”は、静止している棒の長さ l に等しくなければなりません。一方、操作 b での測定結果を“静止系での棒の長さ”と呼んでいます。“静止系での棒の長さ”は、2つの原理、『特殊相対性原理』と『光速度不変の原理』に基づいて求めると、l にはならないことが判明すると主張しています。そして20世紀初頭までの運動学では、この2つの測定結果は全く同じになることが暗黙の内に仮定されていると指摘しました。つまり、運動している剛体は、瞬間的には座標系のどこかに静止しているのと幾何学的にはまったく同じあるので、“静止系での棒の長さ”は“運動系での棒の長さ”に完全に置き換えることが出来るということが暗黙の内に仮定されているのだいうのです。

アインシュタインは“静止系の棒の長さ”が l に一致しないことをここで具体的に示すことはせず、ここで有名な運動している時計の同期に関する思考実験に考察を移します。

話題は、“静止系での棒の長さ”の測定でした。運動する剛体の棒の両端、後端をA 点、前端を B 点とします。先ず、に静止系で同期させた時計を置きます。その意味は、棒がたまたま位置している両端の点の静止系の時計が指し示す時刻とつねに一致しているという意味です。そうなるようにこれらの時計は静止系で同期させたとしています。さらにどちらの時計にも、それと一緒に運動する観測者がひとりついているとします。第１節によれば、観測者の役割は、棒の両端で起こった出来事の時刻を記録することです。この観測者に操作 b で棒の長さを測定する過程で、2つの時計を同期させる操作をさせることにします。

棒は静止系に対して一様な速度 v で運動しています。棒の後端 A 点に取り付けられた時計の時刻 tA に、光線が A 点からB 点に向けて照射され、棒の後端 B 点に取り付けられた時計の時刻 tB に光が届いて反射され、A 点の時刻 t'A に光が再び棒の後端 A 点に戻るとします。

一方、静止系では棒の長さの測定が操作 b に従って行われます。先ず、棒の後端で光が照射された瞬間、つまり、 A 点に取り付けられた時計の時刻 tA に棒の後端がたまたま占めている場所の時計の時刻も tA ですから、静止系の時計の時刻 tA に棒の前端と後端の位置を静止系に印しづけることができます。そしてこの印の距離を静止系に静止している物差しで測定します。この時得られた測定結果が、rAB です。次に時間が経過すると棒は運動し、棒の後端 B 点に取り付けられた時計の時刻 tB に光が B 点に到達し反射されるのですが、この瞬間に棒の前端がたまたま占めている場所の時計も tB を示しています。更に時間が経過する間に棒が運動し、A 点の時刻 t'A に光が再び棒の後端 A 点に戻ったとき、棒の後端がたまたま占めている場所の時計も時刻 t'A を示すことになります。

この現象を静止系で測定すれば、棒の後端を出た光は時間 (tB － tA) が経過する間に棒の長さ rAB に加えて棒の前端のが移動した v(tB － tA) の距離を進むことになるので、

V(tB － tA) ＝ rAB ＋ v(tB － tA)

より

tB － tA ＝ rAB/(V － v)

という関係を得ます。また、棒の前端で反射された光は時間 (t'A － tB) が経過する間に棒の長さ rAB から棒の後端の点 B が移動した v(t'A － tB) の距離を減じた距離を進むことになるので、

V(t'A － tB) ＝ rAB － v(t'A － tB)

より

t'A － tB ＝ rAB/(V ＋ v)

という関係を得ます。この結果は静止系の測定結果ですが、静止系の時計と同期している棒の両端に取り付けられた時計の時刻を記録している観測者が計測した時間間隔でもあります。そして重大な結果、v ≠ 0 であるかぎり、

tB － tA ≠ t'A － tB

に導かれることになります。

棒と共に運動している観測者は、棒の両端の時計が同期していないと主張し、静止系にいる観測者は棒の両端の時計は同期していると主張することになります。

アインシュタインは、このことから同時性というものに絶対的な意味を与えることは出来ないと主張します。ある座標系では同時刻に起こったとように見える出来事でも、その座標系に対して移動している別の座標系では、それらが同時刻の出来事と考えられないというのです。

そして時計に関して重要なことが分かりました。一度同期した時計であってもそれが運動しているときはその時計を静止しているとみる観測者にとって同期していないということです。これは座標系の設定に関わる重要な知見です。2つの座標系を設置し予め時計を同期しておいたとしても、ひとつの座標系がもう一つの座標系に対して移動し始めると、移動している座標系に静止している観測者にとっては、時計が同期していないことになるので、その座標系が意味をなさなくなると言うことです。

そこでアインシュタインの問題意識は互いに他と一様な速度で移動している2つの座標系の関係、座標変換式へと向かうことになります。